Задача 17.
Определите среднюю урожайность картофеля в регионе по данным о:
а) посевной площади и валовом сборе;
б) посевной площади и урожайности;
в) валовом сборе и урожайности.
Объясните, как определена форма средней величины.
| Область |
Посевная площадь, тыс.га |
Валовой сбор,
тыс. т
|
Урожайность,
ц/га
|
| А |
139,80 |
2055 |
147 |
| Б |
102,34 |
1484 |
145 |
| В |
63,29 |
981 |
155 |
а) при определении средней урожайности картофеля в регионе по данным о посевной площади и валовом сборе используем формулу средней арифметической
w (x*f) – валовый сбор;
fi – площадь.
Х ср =(20550+14840+9810 )/ (139,80+102,34+63,29)= 148
б) по данным по посевной площади и урожайности используем формулу средней арифметической взвешенной:
xi –урожайность по области;
fi – посевная площадь по области.
Х ср =(139,80*147+102,34*145+63,29*155)/(139,80+102,34+63,29)= 148
в) по данным о валовом сборе и урожайности используем среднюю гармоническую взвешенную:
хi – урожайность;
w – валовый сбор.
Х ср =(20550+14840+9810 )/(20550/147+14840/145+9810/155) = 148
Задача 27.
В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:
| Затраты времени на одну деталь, мин. |
Число деталей, шт. |
| До 20 |
10 |
| От 20 до 24 |
20 |
| От 24 до 28 |
50 |
| От 28 до 32 |
15 |
| Свыше 32 |
5 |
| Итого |
100 |
1. На основании этих данных вычислите: средние затраты времени на изготовление одной детали, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
2.С вероятностью 0,954 определить:
а) предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;
б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышала 1 минуты.
Решение:
Для расчетов составим таблицу.
| Затраты времени на одну деталь, мин., х
i
|
Середина интервала |
Число деталей,
fi
|
х
i
*
fi
|
(xi
- xср
) |
(xi
- xср
)2
|
(xi
- xср
)2
* fi
|
| До 20
|
10 |
18 |
180 |
-7,3 |
53,29 |
532,9 |
| 20 - 24 |
20 |
22 |
440 |
-3,3 |
10,89 |
217,8 |
| 24 - 28 |
50 |
26 |
1300 |
0,7 |
0,49 |
24,5 |
| 28 - 32 |
15 |
30 |
450 |
4,7 |
22,09 |
331,35 |
| Свыше 32 |
5 |
32 |
160 |
6,7 |
44,89 |
224,45 |
| Итого |
100 |
2530 |
131,65 |
1331 |
1) средние затраты времени на изготовление одной детали рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной, предварительно выбрав середину интервала веса:
 =2530/100═ 25,3
Средние затраты времени на изготовление одной детали составили 25,3 мин.
2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формулам:
- дисперсия
σ2
= ((xi
- xср
)2
* fi
) / Σ fi
σ2
= 1331/100 =13,31
- среднее квадратическое отклонение
σ= √σ2
= √ 13,31 = 3,65
3) коэффициент вариации рассчитаем по формуле
ν = σ / хср
*100%
ν = 3,65/ 25,3 * 100 = 14 (%)
ν = 14 %
Коэффициент вариации показывает однородность выборки. Если он ниже 35%, выборка однородная, как и в данном случае.
4) Рассчитаем с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе. Используем для расчета формулу средней ошибки выборочной средней
μ х
= √ σ2
х
/n (1-n/N),
где σ2
х
– дисперсия изучаемого признака,
n- численность выборки,
N - число единиц в генеральной совокупности,
n/N = 0,1 (десятипроцентное).
μ х
= √ σ2
х
/n (1-n/N) = √13,31/ (100*(1-0,1)) = 0,3
Предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле
∆ х
= t * μ х
,
где t – коэффициент доверия, при вероятности 0,954 равен 2
∆ х
= t * μ х
= 2*0,3= 0,6
Итак, средние затраты времени на изготовление одной детали находится в пределах
хср
±∆ х,
или 25,3 ± 0,6 или от 24,7 до 25,9 мин.
б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы
предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не
превышала 1 минуты, рассчитаем по формуле:
n= ( 22
*13,312
*1000) / ( 12
* 1000+22
*13,312
) = 414
Численность выборочной совокупности, где предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышает 1 минуты составит 414 деталей.
Задача 37.
Имеются данные о среднедушевых доходах населения области за 1993-2002 гг. (тыс. руб.) в сопоставимых ценах:
| Год |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
| Доход ы |
100 |
117 |
128 |
154 |
163 |
150 |
132 |
144 |
158 |
164 |
Требуется выявить основную тенденцию среднедушевых доходов населения области 1993-2002 гг.:
1) методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней;
2) методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой;
3) Используя результаты п.2, дайте прогноз на 2003 год.
4) Охарактеризуйте за 1993-2002 гг. среднегодовой абсолютный прирост и темп прироста доходов.
Решение.
1) выявим тенденцию методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней по формуле:
| Год |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
| Доходы |
100 |
117 |
128 |
154 |
163 |
150 |
132 |
144 |
158 |
164 |
| 115 |
133 |
148 |
156 |
148 |
142 |
145 |
155 |
2) выявим тенденцию методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой вида:
 =а+ b*t
Произведем необходимые вычисления в таблице, обозначив время t
.
| t
|
У
|
t*
У
|
t
2
|
 |
| 1 |
100 |
100 |
1 |
91 |
| 2 |
117 |
234 |
4 |
100 |
| 3 |
18 |
54 |
9 |
109 |
| 4 |
154 |
616 |
16 |
117 |
| 5 |
163 |
815 |
25 |
126 |
| 6 |
150 |
900 |
36 |
134 |
| 7 |
132 |
924 |
49 |
143 |
| 8 |
144 |
1152 |
64 |
151 |
| 9 |
158 |
1422 |
81 |
160 |
| 10 |
164 |
1640 |
100 |
169 |
| ИТОГО
|
55
|
1300
|
7857
|
385
|
1300
|
| среднее |
5,5 |
130,0 |
785,7 |
38,5 |
Решим систему уравнений вида:
 а*n+b ∑t= ∑у
а∑t+ b ∑t2
= ∑у*t
 Подставим рассчитанные значения
10 *а +b*55 = 1300
a*55+b*385 =7857
Рассчитаем параметры а, bпо формулам
b=
а =  ;
b =(10*7857-55*1300)/(10*385-55*55)= 8,5697
а = 130-8,5697*5,5 = 82,8667
Рассчитанное уравнение регрессии имеет вид
Уt
= 82,8667+8,5697*t
Для проверки его правильности рассчитаем выравненные значения у.
∑=∑ у, следовательно, уравнение рассчитано верно.
Представим графически полученные выше расчеты.
Прогноз на 2003 год составит:
У11
= 82,8667+8,5697*11=177
4) Среднегодовой абсолютный прирост за 1993-2002 гг. рассчитаем по формуле:
∆ср = (Уn-У1
) / (n-1)
∆ср = (164-100)/9= 7
Среднегодовой темп роста рассчитаем по формуле
n -1________
Тр (ср) =√ Yi
/Y1
*100%
10 -1________
Тр (ср) =√ 164 /100 *100% = 105,1
Задача 47.
Имеются следующие данные:
| Товар |
Цена за 1 кг в
базисном периоде, руб.
|
Продано, т |
Индивидуальные индексы цен |
| Базисный период |
Отчетный период |
| А |
0,50 |
1200 |
1500 |
1,01 |
| Б |
1,20 |
4200 |
6300 |
0,85 |
| В |
2,45 |
2000 |
2500 |
0.97 |
Рассчитайте:
а) индекс физического объема реализации;
б) индекс цен и индекс товарооборота.
Разложите общую сумму прироста товарооборота по факторам. Сделайте выводы.
Вычислим:
а) индекс физического объема реализации по формуле
 = 1350/1312,5=1,029, или 102,9 %
Уpq = (0,5*1500+6300*1,2+2500*2,45)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=
=14435/10540=1,3695
Физический объем реализации увеличился на 36,95 %.
б) Индекс цен рассчитаем по формуле
Y р = ∑ р0q1*iр / ∑ р0q1
Y р = (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1500*0,5+6300*1,2+2500*2,45)
=13125/14435 = 0,909, или 90,9%
В среднем цены снизились на 9,1 %.
Индекс товарооборота рассчитаем по формуле
= (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=
= 13125/10540=1,245, или 124,5 %
Товарооборот по трем видам увеличился на 24,5 %.
Прирост товарооборота всего составил:
13125-10540 = 2585
Изменение за счет увеличения физического объема:
14435-10540=3895
Изменение за счет снижения цен:
13125-14435 = -1310
ИТОГО: 3895-1310 = 2585
Задача 57.
Имеются следующие данные о реализации сельскохозяйственных продуктов на колхозных рынках двух городов в сентябре месяце:
| Город |
Товар |
Продано, т |
Средняя цена за 1 кг, д. е. |
| 1994 |
1995 |
1994 |
1995 |
| А |
Мясо |
70 |
61 |
10,0 |
15,0 |
| Картофель |
180 |
162 |
1,2 |
2,5 |
| Б |
Мясо |
30 |
27 |
1,0 |
2,0 |
| Картофель |
282 |
300 |
0,7 |
2,0 |
1. Для города «А» определите:
1) индекс товарооборота;
2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение
цен);
3) общий индекс физического объема товарооборота (количества
проданных товаров);
Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.
2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислите:
индекс цен переменного состава (изменение средней цены);
индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);
индекс структурных сдвигов.
Решение:
Произведем дополнительные расчеты и представим в таблице
| Наименование товаров |
Продано, т |
Средняя Цена , д.е. |
Объем продаж в ценах базисного года |
Объем продаж в ценах отчетного года |
| обозначение |
q0 |
q1 |
р0 |
р1 |
р0 q0 |
р0 q1 |
q0р1 |
q1 р1 |
| Мясо |
70 |
61 |
10,0 |
15,0 |
700 |
610 |
1050 |
915 |
| Картофель |
180 |
162 |
1,2 |
2,5 |
216 |
194,4 |
450 |
405 |
| ИТОГО
|
916 |
804,4 |
1500 |
1320 |
1.1) Индекс товарооборота для города «А» рассчитаем по формуле
 = 1320/916=1,441, или 144,1 %
Товарооборот по обоим видам в связи с увеличением цен увеличился на 44,1%.
2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение цен)
рассчитаем по формуле
Y р = ∑ р1q1 / ∑ р0q1
Y р =1320 /804,4=1,641, или 164,1%
В среднем цены увеличились на 64,1 %.
3) общий индекс физического объема товарооборота (количества
проданных товаров) по формуле
= 804,4/916=0,878, или 87,8 %
В среднем объем снизился на 12,2 %.
Взаимосвязь индексов исчисляется: Y рq = Y р * Yq
Y рq = 1,641*0,878=1,441
2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислим:
Индекс цен переменного состава (изменение средней цены) рассчитаем по формуле
Yпер.сост. = ∑ р1
q
1
: ∑ р0
q
0
∑q1 ∑q0
Yпер.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=2,431
Индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);
Yпост.сост. = ∑ р1
q
1
: ∑ р0
q
1
∑q1 ∑q1
Yпост.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*162+0,7*300)/(162+300))=2,485
Индекс структурных сдвигов рассчитаем по формуле
Y стр.сдв. = ∑ р0
q
1
: ∑ р0
q
0
∑q1 ∑q0
Yстр.сост. =((1,2*162+0,7*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=0,978
|
