Реферат: Методы математической статистики использующиеся в педагогических экспериментах

Министерство образования и науки Украины

Открытый международный университет развития человека “Украина”

Горловский филиал

Кафедра физической реабилитации

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Методы исследований в физической культуре и спорте,

физической реабилитации

ТЕМА

Методы математической статистики, использующиеся в педагогических экспериментах

Выполнила:

Хворостяная Кристина Игоревна

2008

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Вычисление средней арифметической величины

2. Вычисление среднего квадратичного отклонения

3. Вычисление средней ошибки среднего арифметического

4. Вычисление средней ошибки разности

ВВЕДЕНИЕ

При проведении педагогического эксперимента для установления достоверности различий прибегают к вычислению некоторых статистических показателей (параметров).

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Условное обозначение средней арифметической величины через М (от латинского слова Media) чаще применяется в медицинских и педагогических исследованиях. В математической статистике предпочитают обозначение через .

Средняя арифметическая величина является производной, обобщающей количественные признаки ряда однородных показателей (совокупности). Выражая одним числом определенную совокупность, она как бы ослабляет влияние случайных индивидуальных отклонений, и акцентирует некую обобщенную количественную характеристику, наиболее типичное свойство изучаемого ряда показателей.

Определяя значение средней арифметической величины, следует придерживаться некоторых правил.

1. Средняя арифметическая величина может характеризовать только те признаки изучаемого объекта, которые присущи всей совокупности, но в разной количественной мере (например, уровень развития быстроты движений характерен для каждого человека, хотя и в разной количественной мере). Средняя арифметическая величина не может характеризовать количественную меру тех признаков, которые одной части совокупности присущи, а другой нет, т. е. она не может отражать присутствие или отсутствие того или иного признака (например, умение или неумение выполнять то или иное двигательное действие).

2. Средняя арифметическая величина должна включать все показатели, полученные в данном исследовании. Произвольное исключение даже некоторых из них неизбежно приведет к искажению конечного результата.

3. Средняя арифметическая величина обязана отражать только однородную совокупность. Нельзя, например, определять средний уровень физического развития школьников, не разделив их предварительно по возрасту и полу.

4. Средняя арифметическая величина должна вычисляться на достаточно большой совокупности, размеры которой определяются в каждом конкретном случае отдельно (см. «Подбор исследуемых»).

5. Необходимо стремиться к тому, чтобы средняя арифметическая величина имела четкие и простые свойства, позволяющие легко и быстро ее вычислять.

6. Средняя арифметическая величина должна обладать достаточной устойчивостью к действию случайных факторов. Только в этом случае она будет отражать действительное состояние изучаемого явления, а не его случайные изменения.

7. Точность вычисления средней арифметической величины должна соответствовать содержанию изучаемого педагогического явления. В некоторых случаях нет необходимости в расчетах с большой точностью, в других - большая точность нужна при вычислениях, но совершенно не нужна в выводах. Например, при расчете средних величин числа подтягиваний на перекладине можно пользоваться и сотыми долями целого, но представлять и выводах, что исследуемые в среднем подтянулись 7,83 раза, было бы неграмотна, так как невозможно измерение с подобной точностью. В этом случае необходимо в выводах представлять числа, округленные до целых единиц.

В простейшем случае этот показатель вычисляется путем сложения всех полученных значений (которые называются вариантами) и деления суммы на число вариант:

где S - знак суммирования;

V - полученные в исследовании значения (варианты);

п - число вариант.

По этой формуле вычисляется так называемая простая средняя арифметическая величина. Применяется она в тех случаях, когда имеется небольшое число вариант.

При большом числе вариант прибегают к вычислению так называемой взвешенной средней арифметической величины. С этой целью строят ряд распределения, или вариационный ряд, который представляет собой ряд вариант и их частот, характеризующих какой-нибудь признак в убывающем или возрастающем порядке. Например, в нашем случае измерение точности попадания мячом в цель дало 125 вариант, т. е. в группе I, где применялась методика обучения «А», одноразово исследовалось 125 детей с числовым выражением от 0 (точное попадание в цель) до 21,5 см (максимальное отклонение от цели). Каждое числовое выражение встречалось в исследовании один и более раз, например «0» встретился 28 раз. Другими словами, 28 участников эксперимента точно попали в цель. Этот показатель называется числом наблюдений или частотой вариант и условно обозначается буквой «Р» (число наблюдений составляет часть числа вариант).

Для упрощения числовых операций все 125 вариант разбиваются на классы с величиной интервала 1,9 см. Число классов зависит от величины колебаний вариант (разности между максимальной и минимальной вариантами), наличия вариант для каждого класса (если, например, для первого класса - «0 - 1,9» - нет соответствующих вариант, т.е. ни один исследуемый не имел точных попаданий или отклонений от цели в пределах от 0 до 1,9 см, то подобный класс не вносится в вариационный ряд) и, наконец, требуемой точности вычисления, (чем больше классов, тем точность вычисления выше). Вполне понятно, что чем больше величина интервала, тем меньше число классов при одной и той же величине колебаний вариант.

После разбивки вариант по классам в каждом классе определяется срединная варианта «V_c », и для каждой срединной варианты проставляется число наблюдений. Пример этих операций, и дальнейший ход вычислений приведены в следующей таблице:

Очередность числовых операций:

1) вычислить сумму числа наблюдений (в нашем примере она равна 125);

2) вычислить произведение каждой срединной варианты на ее частоту (например, 1*28 = 28);

3) вычислить сумму произведений срединных вариант на их частоты (в нашем примере она равна 697);

4) вычислить взвешенную среднюю арифметическую величину по формуле:

Средняя арифметическая величина позволяет сравнивать и оценивать группы изучаемых явлений в целом. Однако для характеристики группы явлений только этой величины явно недостаточно, так как размер колебаний вариант, из которых она складывается, может быть различным. Поэтому в характеристику группы явлений необходимо ввести такой показатель, который давал бы представление о величине колебаний вариант около их средней величины.

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ

Этот статистический параметр называется еще стандартным отклонением или просто стандартом. Условное обозначение его - s. Величина среднего квадратичного отклонения является показателем рассеивания (т. е. отклонений вариант, которые получены в исследовании, от их средней величины) и призвана дополнять характеристику группы явлений.

Вычисление этого показателя производится в следующем порядке (см. табл.):

1) вычисляется разность между каждой срединной вариантой и средней арифметической величиной (например, 1 - 5,6 = - 4,6); вычисленный таким образом показатель условно обозначается буквой «d»;

2) чтобы избежать числовых операций с положительными и отрицательными величинами, все полученные разности возводятся в квадрат (например, - 4,6² =21,16);

3) вычисляется произведение каждого квадрата разности на его частоту (например, 21,16*28 = 592,48);

4) вычисляется сумма всех полученных произведений квадратов разностей и их частот (в нашем примере она равняется 2270,72);

5) вычисляется среднее квадратичное отклонение по формуле:

При малом числе наблюдений среднее квадратическое отклонение рекомендуется вычислять по следующей формуле:

Как видно из приведенного примера, вычисление среднего квадратичного отклонения общепринятым методом не требует от исследователя большой математической подготовки, но оно связано с большой затратой времени на выполнение многочисленных вспомогательных вычислений. В настоящее время все большее распространение получает вычисление среднего квадратичного отклонения по размаху (под размахом понимается разность между наибольшим и наименьшим значениями измеряемой величины, т. е. величина колебания вариант).

На основе теории распределения размаха для статистических совокупностей (Н.А. Толоконцев, 1961; и др.) разработан способ определения среднего квадратичного отклонения по формуле:

где - наибольшее значение варианты;

- наименьшее значение варианты;

К - табличный коэффициент, соответствующий определенной величине размаха.

Коэффициент К определяется по таблице. «Коэффициентов К для вычисления среднего квадратичного отклонения по амплитуде вариационного ряда» (упрощенный вариант таблицы Л. Типпетта). В приводимой таблице значения К вычислены для числа вариант от 2 до 1000. Порядок вычисления:

1) определить V_макс (предположим, в нашем примере оно будет равняться 21,5);

2) определить V_мин (предположим, в нашем примере оно будет равняться 0);

3) определить число произведенных измерений, т. е. число вариант (в нашем примере оно равняется 125);

4) по таблице найти коэффициент К, который соответствует числу вариант, равному 125; для этого: в левом крайнем столбце под индексом п находим число 120, а в верхней строке - цифру 5; на пересечении строк - 5,17;

5) подставить полученные значения в формулу и произвести необходимые арифметические вычисления:

Полученная данным методом величина среднего квадратичного отклонения лишь на 0,1 отличается от среднего квадратичного отклонения, полученного общепринятым методом (±4,26). Это различие не имеет существенного значения для характеристики педагогических явлений. Математическими исследованиями установлено (Н.А. Толоконцев, 1961), что при обоих методах расчета имеются вполне удовлетворительные совпадения величин. Кроме того, вычислять среднее квадратическое отклонение по размаху выгодно при малом числе измерений: при числе вариант не более 20 (а это, как известно, имеет большое значение для сравнительных педагогических экспериментов, в которых, как правило, участвует ограниченное количество исследуемых).

Величина среднего квадратичного отклонения зависит от величины колебаний вариант: чем больше амплитуда различий между крайними значениями вариант, т. е. чем больше изменчивость признака, тем больше величина среднего квадратичного отклонения.

Закон нормального распределения говорит, что подавляющее большинство значений в однородной группе вариант встречается в интервале, расположенном около средней арифметической величины. Чем больше отличается каждая отдельная варианта от средней арифметической величины, тем она реже встречается. Варианты меньшие, чем средняя арифметическая величина, встречаются с той же частотой, что и варианты большие, чем средняя арифметическая величина. При нормальном распределении варианты расположены в определенных границах. Например, в границах М±s расположено 99,7% всех вариант признака.

Коэффициент К для вычисления среднего квадратичного отклонения по амплитуде вариационного ряда

3. Вычисление средней ошибки среднего арифметического

Условное обозначение средней ошибки среднего арифметического - т. Следует помнить, что под «ошибкой» в статистике понимается не ошибка исследования, а мера представительства данной величины, т. е. мера, которой средняя арифметическая величина, полученная на выборочной совокупности (в нашем примере - на 125 детях), отличается от истинной средней арифметической величины, которая была бы получена на генеральной совокупности (в нашем примере это были бы все дети аналогичного возраста, уровня подготовленности и т. д.). Например, в приведенном ранее примере определялась точность попадания малым мячом в цель у 125 детей и была получена средняя арифметическая величина примерно равная 5,6 см. Теперь надо установить, в какой мере эта величина будет характерна, если взять для исследования 200, 300, 500 и больше аналогичных детей. Ответ на этот вопрос и даст вычисление средней ошибки среднего арифметического, которое производится по формуле:

Для приведенного примера величина средней ошибки среднего арифметического будет равна:

Следовательно, M±m = 5,6±0,38. Это означает, что полученная средняя арифметическая величина (M = 5,6) может иметь в других аналогичных исследованиях значения от 5,22 (5,6 - 0,38 = 5,22) до 5,98 (5,6+0,38 = 5,98).

4. Вычисление средней ошибки разности

Условное обозначение средней ошибки разности - t. Таким образом, установлены основные статистические параметры, характеризующие количественную сторону эффективности одной из методик обучения метанию малых мячей в цель. Но в приведенном примере речь шла о сравнительном эксперименте, в котором сопоставлялись две методики обучения. Предположим, что вычисленные параметры характеризуют методику «А». Тогда для методики «Б» также необходимо вычислить аналогичные статистические параметры. Допустим, они будут равны:

М_Б » 4,7; σ_Б » ± 3,67 m_Б » ± 0,33

Теперь есть числовые характеристики двух разных методик обучения. Необходимо установить, насколько эти характеристики достоверно различны, т. е. установить статистически реальную значимость разницы между ними. Условно принято считать, что если разница равна трем своим ошибкам или больше, то она является достоверной:

В приведенном примере:

0,9<1,5

Следовательно, найденные количественные характеристики двух методик обучения не имеют достоверных различий и объясняются не закономерными, а случайными факторами. Поэтому можно сделать следующий педагогический вывод: обе методики обучения равноценны по своей эффективности; новая методика расширяет существующие способы решения данной педагогической задачи.

Подобное вычисление средней ошибки разности применяется в тех случаях, когда имеются количественно значительные показатели п (т. е. при большом числе вариант). Если же в распоряжении экспериментатора имеется небольшое число наблюдений (менее 20), то целесообразно вычислять среднюю ошибку разности по формулам:

где С - число степеней свободы вариаций от 1 до ∞, которые равны числу наблюдений без единицы (С = п - 1).

В виде примера можно привести исследование, в котором оценивалась разница в величине становой динамометрии боксеров двух весовых категорий (А. Г. Жданова, 1961). Были получены следующие исходные данные: тяжелый вес - п₁ = 12 человек, легкий вес - п₂ = 15человек.

М₁ = 139,2 кг M₂ = 135,0 кг

σ₁ = ± 4,2 кг σ₂ = ±4,0 кг

m₁ = ± 1,23 кг m₂ = ± 1,69 кг

Если подставить эти значения в формулы, то получится:

Далее достоверность различия определяют по таблице вероятностей P/t/≥/t₁ / по распределению Стьюдента (t - критерий Стьюдента).

В данной таблице столбец t является нормированным отклонением и содержит числа, которые показывают, во сколько раз разница больше средней ошибки. По вычисленным показателям t и С в таблице определяется число Р, которое показывает вероятность разницы между М₁ и М₂ . Чем больше Р, тем менее существенна разница, тем меньше достоверность различий.

В приведенном примере при значении t » 2,0 и С = 25 число Р будет равняться 0,0455 (в таблице оно расположено на пересечении строки, соответствующей t » 2,0, и столбца, соответствующего С = ∞). Это свидетельствует о том, что реальная разница весьма вероятна.

В тех случаях, когда расчеты показывают отсутствие достоверности различия, преждевременно считать, что между изучаемыми явлениями вообще не может быть различия. Можно лишь утверждать, что нет различия при данных условиях исследования. При увеличении объема выборки достоверность в различии может появиться. Это положение является главным доказательством важности правильного определения необходимого числа исследований до начала эксперимента.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Масальгин Н.А. Математико-статистические методы в спорте. М., ФиС, 1974.

2. Методика и техника статистической обработки первичной социологической информации. Отв. ред. Г.В. Осипов. М., «Наука», 1968.

3. Начинская С.В. Основы спортивной статистики. - К.: Вища шк., 1987. - 189 с.

4. Толоконцев Н.А. Вычисление среднего квадратичного отклонения по размаху. Сравнение с общепринятым методом. Тезисы докладов третьего совещания по применению математических методов в биологии. ЛГУ, 1961, стр. 83 - 85.

5. Фаламеев А.И., Выдрин В.М. Научно-исследовательская работа в тяжелой атлетике. ГДОИФК им. П. Ф. Лесгафта, 1974.