Лабораторная работа: Изучения прямолинейного движения на машине атвуда

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель Студент группы 220201

___________ /____________. / Стороженко Сергей Валерьевич

___________2011 г. 2011 г.

2011

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t ² > прохождения грузом с перегрузом пути S:

(3.1)

(3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:

σ_сл (t ) = t(a, n ) × S (t ) ; (3.4)

где t(a, n ) - коэффициент Стьюдента

стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где

t_i - времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. … , n ),

n – число измерений, < t > - среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:

σ(t ² ) = 2 < t > σ(t ) (3.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:

(3.7)

Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

b = (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

a = 2b² (3.9)

Абсолютную случайную погрешность ускорения s_сл (a ) рассчитываем методом наименьших квадратов.

Рассчитываем параметры линеаризованного графика

(y = f(x) = Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.

Расчет производится по формулам: (3.10)

куда входят следующие величины:

(3.11)

где n – число экспериментальных точек.

Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: s_сл (β ):

(3.12)

где вспомогательная величина:

(3.13)

Абсолютная случайная погрешность ускорения:

s ( a ) = 4 b s ( b ) (3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Макет № 82

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

Результаты прямых и косвенных измерений Таблица 4.1

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t ² > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения (S ₁ = 10 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt₁ = t₁ −< t>₁ = 1,558−1,43 = 0,13 с; Δt₁ ² = ( 0,13)² = 0,0169 с² ;

Δt₂ = t₂ −< t>₁ = 1,423−1,43 = -0,007 с; Δt₁ ² = (-0,007)² = 0,000049 с² ;

Δt₃ = t₃ −< t>₁ = 1,446−1,43 = 0,016 с; Δt₁ ² = (0,016)² = 0,000256 с² ;

Δt₄ = t₄ −< t>₁ = 1,341−1,43 = -0,089 с; Δt₁ ² = (-0,089)² = 0,00792 с² ;

Δt₅ = t₅ −< t>₁ = 1,376−1,43 = -0,054 с; Δt₁ ² = (-0,0584)² = 0,002916 с² ;

0,0169 +0,000049+0,000256+0,00792+0,002916

S(t)₁ = 5x(5-1) = 0,001 с;

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности a=0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(a, n ) = 2,1:

σ_сл (t )₁ = 2,1×0,001 = 0,0021 c ;

Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2

Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :

σ_сис (t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :

σ(t)1 = 0,0005²+0,0021² = 0,0021 с;

Так как величина σ_сис (t) много меньше величины σ_сл (t )₁ (σ_сис (t) = 0,0005 с << σ_сл (t )₁ = 0,0021 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t )₁ ≈ σ_сис (t )₁ .

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t ² )₁ = 2×1,43×0,0021 = 0,006 с² ;

Результаты измерений записываем в виде < t > ± σ(t) :

t₁ = 1,43±0,0021 с.

Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :

Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f ₁ ( t ) ( рис. 4.1.) и S = f ₂ ( t ² ) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.

Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t .

Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t ² .

На рис.4.3. представлен линеаризованный график = f ₃ ( t ) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t .

Рисунок 4.3. Зависимость от времени t .

На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

b _граф = 4 / 2,3 = 1,73 см^0,5 /с ;

Величину ускорения определим по формуле 3.9:

a _граф = 2×1,73² =5,98 см/с² ;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр b линеаризованного графика = b t и случайную абсолютную погрешность параметра s_сл (b ).

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S ₁ − S ₆ для расчета по МНК (число точек n =5):

S ₁ = 12,17 c; S₄ = 33,65 c² ;

S ₂ = 25,51см^1/2 ; S ₆ = 137 см ;

S ₃ = 65,90 c×см^1/2 ; S ₅ = 5×33,65 − 12,17 ² = 20,14 c × см^1/2 .

По формуле 3.10 определим параметр b линеаризованного графика:

b = (5×65,90 − 12,17 ×25,51) / 20,14 = 0,94 см^1/2 /c.

Угловой коэффициент прямой b = 0,94 см^1/2 /c.

Значение вспомогательной величины S ₀ по формуле 3.13:

S ₀ = 137/ 3 – (25,51² + 0,94 ² ×20,14 ) / 15 = 1,03 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

s ( b) = (5×1,03² /20,14) ^0,5 = 0,513 см^1/2 /c .

Величина ускорения по формуле 3.9 :

a = 2×0,94² = 1,76 см/с² .

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

s ( a ) = 4×0,94×0,513 = 1,93 см/с² .

Получаем:

a = (1,76 ± 1,93) см/с² = (1,76 ± 1,93)×10^-2 м/с² .

5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at ² /2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

a – ускорение движения.

В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a = (1,76 ± 1,93) × 10^-2 м/с² .

1. Какие силы действуют на груз с перегрузком во время движения?

На груз с перегрузом во время движения действует сила тяжести F _тяж2 и противоположно направленная сила натяжения нити T₂ .

Сила тяжести F _тяж2 = ( M + m ) g , где M – масса груза, m – масса перегрузка, g – ускорение свободного падения.

2. Запишите уравнение движения для каждого из грузов.

Уравнение движения грузов имеют вид:

( M + m ) g – T ₁ = ( M + m ) a ₁ - груз с перегрузом (справа)

Mg – T ₂ = Ma ₂ - груз ( слева )

В силу не растяжимости нити a ₂ = - a ₁ ; при невесомом блоке T ₁ = T ₂ имеем следующие уравнения движения:

(M + m)g – T = (M + m)a

Mg – T = - Ma

3. Укажите возможные причины, обуславливающие несовпадение теоретических выводов с результатами измерений.

- физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин;

- точность вычислений.

4. Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени?

Систематическая погрешность измерения времени σ_сис (t) приводит к тому, что прямая на линеаризованном графике не проходит через начало координат. Величина отрезка, отсекаемого прямой при пересечении с осью t ( от точки пересечения до начала координат), есть величина систематической погрешности измерения времени σ_сис (t).

5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов в машине Атвуда.

Идеализация движения грузов на машине Атвуда:

- нить и блок невесомы, нить не растяжима, сила трения на оси блока мала, можно пренебречь.