ГИДРОСТАТИКА
- Гидростатическое давление и его свойства
- Уравнения гидростатики
- Некоторые понятия в гидростатике
- Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности
- Плавание тел
ГИДРОСТАТИКА
Гидростатическое давление и его свойства
Гидростатика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы жидкости в состоянии равновесия и распределение давления покоящейся жидкости на различные поверхности.
Рассмотрим основное понятие гидростатики — гидростатическое давление. На рис. 2.1 представлен некоторый произвольный объем покоящейся жидкости. Разделим этот объем плоскостью ВС
на две части — I и II. В плоскости ВС
выделим площадь ω
с центром в точке А.
Давление со стороны части I объема будет передаваться на поверхность ВС
с силой Р
.
Гидростатическим давлением Р называется сила давления жидкости на единицу площади ω, и его можно представить формулой
 |
(2.1) |
рис. 2.1
Гидростатическое давление имеет размерность в системе СИ Паскаль (Па). Оно обладает тремя свойствами.
Первое свойство. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к поверхности, на которую оно действует.
Второе свойство. Гидростатическое давление в точке действует одинаково по всем направлениям и может быть выражено соотношением
Третье свойство. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве и может быть записано следующим образом:
Уравнения гидростатики
При изучении законов покоящейся жидкости рассмотрим три уравнения: а) основные дифференциальные уравнения равновесия; б) уравнения гидростатического давления; в) уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под воздействием сил тяжести.
а. Основные дифференциальные уравнения равновесия Л. Эйлера выведены в Российской Академии наук в 1755 г. Уравнения выражают связь между массовыми (объемными) силами, давлением и координатами любой точки жидкости в состоянии равновесия.
Не приводя вывода уравнений, поясним ход рассуждений.
В покоящейся жидкости выделяется какой-либо объем. В данном примере на рис. 2.2 рассматривается параллелепипед с гранями ab
с
d
и a
'
b
'
c
'
d
'.
На выделенный объем действуют силы поверхностного суммарного гидростатического давления и массовые (объемные) силы. Жидкость находится в равновесии, следовательно поверхностные и массовые силы должны уравновешиваться, т. е. сумма этих сил должна быть равна нулю.
рис. 2.2
ПОВЕРХНОСТНЫЕ СИЛЫ. Силы суммарного гидростатического давления по оси х
с учетом приращения дРх
будут равны
 |
(2.4) |
Напомним, что силы, направленные по оси, положительны, а против оси — отрицательны. Аналогично можно получить величины по оси у
и z
.
МАССОВЫЕ (ОБЪЕМНЫЕ) СИЛЫ. Объемной силой называется сила, приложенная к массе жидкости в объеме параллелепипеда. Такой силой может быть сила тяжести p
=
mg
.
При постоянной плотности масса жидкости выделенного объема равна m
= r
dxdydz
.
В гидравлике проекции ускорения объемных сил, отнесенных к единице массы, обозначаются X
,
Y
,
Z
.
Таким образом, по оси x можно записать
Сумма поверхностных и массовых сил по оси x будет равна
| Px
dydz
–
Px
dydz
-
dxdydz
+
Xrdxdydz
= 0 |
Производя сокращения и отнеся все члены уравнения к единице массы, т. е. разделив на величину массы rdxdydz
, и учитывая второе свойство гидростатического давления, получим уравнения Л. Эйлера по всем осям
 |
(2.7) |
 |
Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем: изменение гидростатического давления в направлении какой-либо оси, отнесенное к плотности, равняется проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, на ту же ось.
б. Уравнение гидростатического давления можно получить из уравнений Л. Эйлера. Если умножить каждый его член на r
dx
, r
dy
и rdz
и сложить их, то получим
 |
(2.8) |
Правая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал давления
| dP
=
r
(
Xdx
+
Ydy
+
Zdz
)
|
(2.9) |
Из последнего уравнения гидростатического давления видно, что давление зависит от плотности жидкости и бывает больше для плотных жидкостей.
В случае, если имеется поверхность равного давления, Р
=const и dP
=0, поскольку r
не равно 0, то уравнение в случае равного давления имеет вид
| Xdx
+
Ydy
+
Zdz
=0
|
(2.10) |
в. Уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести. Основное уравнение гидростатического давления в дифференциальной форме следующее:
| dP
=
r
(
Xdx
+
Ydy
+
Zdz
)
|
Интегрируя данное уравнение, можно его использовать для различных случаев покоя жидкости. Рассмотрим частный случай, когда жидкость находится в покое под действием силы тяжести. На рис. 2.3 на поверхности жидкости наметим точку в
, в которой давление Р0
. Начало координат совместим с точкой в
, а ось z
направим вниз. Выделим точку а
, в которой жидкость находится под действием силы тяжести, равной весу р=
mg
. Примем массу m
=1, тогда p
=
g
, т. е. единичная массовая сила будет равна ускорению. Проекции этой силы на ось x
и y
будут равны 0: X
=0; Y
=0. Проекция силы тяжести на ось z
=
g
, т. к. направление оси совпадает с направлением силы тяжести вниз, к центру Земли.
рис. 2.3
Согласно уравнению гидростатического давления dP будет равно
Интегрируем это уравнение в пределах от Р0
до Р
и от z0
до z
получим
Из рис. 2.3 видно, что глубина погружения точки а
относительно свободной поверхности h
=
z
–
z
0
. Поэтому можем записать
Последняя формула является уравнением гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести.
Если свободная поверхность жидкости соприкасается с атмосферой, то Р0
=Ра
и полное гидростатическое давление будет иметь вид
Из уравнения гидростатического давления следует закон Паскаля: давление, воспринимаемое жидкостью, передается во все точки жидкости с одинаковой силой.
Избыточным, или манометрическим, давлением называется превышение давления над атмосферным
Некоторые понятия в гидростатике
а. Пьезометрическая высота давления. На рис. 2.4 в состоянии равновесия представлен закрытый сосуд, наполненный жидкостью, на поверхности которой давление Р>Ра
. К стекам сосуда подведены две открытые трубки, называемые пьезометрами («пьезо» - греческое слово – давление, «метр» - измерение). Трубки А
и В
расположены на разных уровнях z
А
и z
В
от плоскости сравнения 0-0
. Жидкость в точках А
и В
, которая находится под давлением Р
, поднимется по пьезометрам и, испытывая атмосферное давление Ра
, остановится на одной плоскости 0’-0’
, называемой напорной плоскостью.
|
