Пошукова робота на тему:
Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші.
П
лан
- Ознаки порівняння рядів з додатними членами
- Ознака Даламбера
- Радикальна ознака Коші
- Інтегральна ознака Коші
13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами
Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.
Нехай задані два ряди з додатними членами
(13.4)
(13.5)
Теорема.1
Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто
, то із збіжності ряду (13.5) випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) випливає розбіжність ряду (13.5).
Д о в е д е н н я. 1) Нехай ряд (13.5) – збігається. Позначимо частинні суми рядів (13.4) і (13.5) через
і
. Оскільки
,
то, очевидно,
Ряд (13.5) – збігається, тому існує границя
його частинної суми
Із того, що члени рядів (13.4) і (13.5) додатні, випливає, що
і тоді в силу нерівності
Отже, частинні суми послідовності
обмежені. Крім того, послідовність
монотонно зростаюча, а тому вона має скінчену границю при
Отже, ряд (13.4) збігається.
2) Нехай ряд (13.4) – розбігається. Тоді ряд (13.5) не може збігатися, тому що за доведеною теоремою (п.1) ряд (13.4) повинен збігатися, а це протирічить нашому припущенню.
Приклад.1
Дослідити збіжність ряду
Р о з в ‘ я з о к. Ряд
знакододатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння:
і ряд
збігається ( тут
), а тому за першою ознакою порівняння даний ряд збігається.
Зауваження.
Теорема має місце і у випадку, коли нерівності
виконуються, починаючи з деякого
Відкинувши перших
членів у рядах (13.4) і (13.5), які не вплинуть на збіжність чи розбіжність даних рядів, одержимо умови даної теореми.
Теорема 2.
Якщо існує границя
(13.6)
то із збіжності ряду (13.5), при
випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) – розбіжність ряду (13.5) при
Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.5) збігається і
Взявши довільне як завгодно мале число
за визначенням границі, для
достатньо великих
будемо мати
, звідки
Одночасно з рядом (13.5) буде збігатися і ряд
одержаний множенням його членів на постійний множник
Звідси, за попередньою теоремою, випливає збіжність ряду (13.4).
Якщо ряд (13.5) розбігається і
то в цьому випадку обернене відношення
має скінченну границю і тоді ряд (13.4) повинен бути розбіжним, інакше, якщо б він збігався, то по доведеному, збігався би і ряд (13.4), що протирічить припущенню.
Приклад 2.
Дослідити збіжнісь ряду
Р о з в ‘ я з о к. Нехай
а
Ряд
збігається
.Оскільки
то із збіжності ряду
випливає збіжність і ряду
13.4. Ознака Даламбера
Теорема.
Якщо для ряду (13.4) з додатними членами відношення
го члена до
го при
має (скінчену) границю
тобто
(13.7)
то:
1) при
ряд (13.4) збігається;
2) при
ряд (13.4) розбігається;
3) при
теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.
Д о в е д е н н я. 1) Нехай
Розглянемо деяке число
що задовольняє умові
Із означення границі та співвідношення (13.7) випливає, що для всіх
буде виконуватися нерівність
(13.8)
Дійсно, оскільки величина
прямує до границі
то , починаючи з деякого номера
різниця між величиною
і числом
може бути зроблена за абсолютною величиною менше за довільне як завгодно мале додатне число, в тому числі, менше за
тобто
Звідси і випливає нерівність (13.8).
Запишемо нерівність (13.8) для різних значень
починаючи з номера
:
. (13.9)
Розглянемо тепер два ряди:
,
.
Другий ряд є геометричною прогресією з додатним знаменником
, тому він збігається. Члени цього ряду, починаючи з
, менші за члени першого ряду. За першою теоремою порівняння рядів ряд
- збігається, а це і є ряд (13.4).
2) Нехай
Тоді з рівності (13.7) випливає (при
) , що, починаючи з деякого номера
, буде виконуватися нерівність
,
або
Але це означає, що члени ряду (13.4) зростають, починаючи з номера
, а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.
Зауваження 1.
Ряд (13.4) буде розбігатися і в тому випадку, коли
Це випливає з того, що починаючи з деякого номера
, буде виконуватися нерівність
, або
.
Зауваження 2.
Якщо
, то ознака Даламбера не дає можливості встановити, збігається чи розбігається даний ряд. В одному випадку такий ряд може збігатися, а в іншому – розбігатися. Для вирішення питання про збіжність таких рядів необхідно застосувати іншу ознаку.
Зауваження 3.
Якщо
, але відношення
для всіх номерів
, починаючи з деякого, більше за одиницю, то такий ряд розбігається.
Це випливає з того, що при
буде виконуватися нерівність
, і загальний член не прямує до нуля при
Приклад 1.
Дослідити збіжність ряду
.
Р о з в ‘ я з о к. Використаємо ознаку Даламбера :
,
і
, тому ряд розбігається.
Приклад 2.
Дослідити збіжність ряду
.
Р о з в ‘ я з о к. Використовуючи ознаку Даламбера, одержимо
<1; отже, даний ряд збігається.
13.5. Радикальна ознака Коші
Теорема.
Якщо для ряду з додатними членами (13.4) величина
, (13.10)
то:
1) при
ряд (13.4) збігається;
2) при
ряд (13.4) розбігається;
3) при
теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.
Д о в е д е н н я. 1) Нехай
Розглянемо число
, що задовольняє умові
Починаючи з
, будемо мати
звідки випливає, що
або
Розглянемо тепер два ряди:
,
.
Другий ряд збігається, оскільки його члени утворюють геометричну прогресію. Члени першого ряду, починаючи з
, менші за члени другого ряду, а тому він за ознакою порівняння збігається.
2) Нехай
Тоді, починаючи з деякого номера
, будемо мати
або
Але, якщо всі члени даного ряду, починаючи з деякого
, більші за одиницю, то ряд розбігається, оскільки його загальний член не прямує до нуля.
Зауваження.
Як і в ознаці Даламбера, випадок
вимагає додаткового дослідження. Серед таких рядів можуть зустрітися як збіжні, так і розбіжні.
Приклад.
Дослідити збіжність ряду
.
Р о з в ‘ я з о к. Використаємо радикальну ознаку Коші:
>1 – ряд розбігається.
13.6. Інтегральна ознака Коші
Розглянемо ще одну ознаку, яка відрізняється по формі від всіх попередніх.
Нехай ряд має форму
, (13.11)
і
є значення при
деякої функції
, визначеної для
. Припустимо, що ця функція неперервна, додатна і монотонно спадна.
Теорема.
Нехай члени ряду (13.11) додатні і не спадають, тобто
(13.12)
і нехай
така неперервна неспадна функція, що
(13.13)
Тоді :
1) якщо невласний інтеграл
збігається, то збігається і ряд (13.11);
2) якщо невласний інтеграл
розбігається, то розбігається і ряд (13.11).
Д о в е д е н н я. Зобразимо члени ряду геометрично, відкладаючи на осі абсцис номера членів ряду, а на осі ординат – відповідні значення членів ряду
. Побудуємо на цьому ж рисунку графік неперервної функції
, що задовольняє умові (13.13). Ясно, що ця функція буде проходити через точки
(рис. 13.1).
Рис.13.1 Рис.13.2
Зауважимо, що площа
го прямокутника дорівнює
, а сума площ побудованих
прямокутників дорівнює частинній сумі ряду
З іншого боку, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, містить область, що обмежена кривою
і прямими
; площа цієї області дорівнює
Отже,
(13.14)
На рис.13.2 перший (зліва) із побудованих прямокутників має висоту
, а тому його площа буде
Площа другого прямокутника
і т.д. Площа останнього із побудованих прямокутників буде
Отже, сума площ всіх побудованих прямокутників дорівнює
З іншого боку, як легко помітити, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, міститься всередині криволінійної трапеції, обмеженої кривою
і прямими
Площа цієї криволінійної трапеції дорівнює
Тому
звідки
. (13.15)
Розглянемо тепер обидва випадки.
1). Нехай невласний інтеграл
збігається. Оскільки
то в силу нерівності (1.15) будемо мати
тобто частинна сума ряду, яка є монотонно зростаючою (члени ряду додатні) , залишається обмеженою. Значить,
при
має скінчену границю
, тобто ряд збігається.
2). Нехай невласний інтеграл
розбігається, тобто
Це значить, що
необмежено зростає при зростанні
Але, в силу нерівності (13.14),
також необмежено зростає при зростанні
, тобто ряд розбігається.
Таким чином, теорема повністю доведена.
Зауваження .
Доведена теорема залишається справедливою і в тому випадку, коли нерівності (13.12) виконуються, лише починаючи з деякого
Розглянемо ряд
Оскільки невласний інтеграл
збігається при
і розбігається при
то і даний ряд буде збігатися при
і розбігатися при
Приклад.
Дослідити збіжність ряду
Р о з в ‘ я з о к.
;
Для дослідження збіжності ряду
використаємо інтегральну ознаку Коші:
; інтеграл збігається, отже, і
ряд
- збігається. Тому за ознакою порівняння
ряд
також збігається.
|
