Задача С 1
Жестяная рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. На раму действуют пара сил с моментом М = 100H*м и две силы F1
= 10H под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная к точке K, и F4
=40H под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная к точке H.
Определить реакции связей в точках A и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м
        
2 ll
            Дано
: XA
F4
’
X
М = 100 Н * м AH
      F1
= 10 Н F4
’’
F4
F1
’’
F1
l
    £ 1
= 30°K
  F 4
= 40 HF1
’
 L = 0,5 мМ 3l
£ 4
= 60°2l
     RB
  XА,
YА,
RB
Д
Рис. С 1.0.
Решение:
Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси XY (начало координат в точке А). На раму действуют следующие силы:  1 и 4, пара сил моментом М и реакция связи  A,  A,  B (реакция неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).
Составляем три уравнения равновесия:
1) ∑ FKX=0; XA+F4*coς 60 °+ F1*coς 30 °=0
2) ∑ FKY=0; YA-F4*ςin 60 °+ F1* ςin 30 °+RB=0
3) ∑ MA (FK)=0; -F4*ςin 60 °*2l+ F1* ςin 30 °*3l+F1* coς 30 °*l-M+RB*5l=0
Из уравнений (1) находим XA:
XA= -F4* coς 60 °-F1* coς 30 °= -40*0,5-10*0,866= -28,66H
Из уравнения (3) находим RB:
RB= =
= =
 =49,12H
Из уравнения (2) находим YA:
YA=
Проверка:
 
- все силы реакции найдены правильно:
Ответ:
Задача С 2
Однородная прямоугольная плита весом P=5kH со стороны АВ=3l, ВС=2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС! На плиту действуют пара сил с моментом М=6лН*м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения Н, £1=90°с, Д, £2=30°с; при этом силы  и  лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила - в плоскости, параллельной xz, сила  - в плоскости параллельной yz. Точки приложения Д и Н находятся в серединах сторон плиты. Определить реакции связей в(.) А и В, С. При окончательных расчетах принять l=0,5м.
 С1
    Z
 Дано:
              
 Y
     
Рис С 2.0.
Решение:
1) Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы:  пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на 3 составляющие:  цилиндрического шарнира (подшипника) - на две составляющие:  (в плоскости перпендикулярной оси подшипника), реакцию  стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут (рис. С 2.0.)
2) Для определения  составляем равновесия, действующей на плиту пространственной системы сил:
 (1)
 (2)
 (3)
 (4)
 (5)
 (6)
Из уравнения (4) находим N:
Из уравнения (5) находим ZB:
Из уравнения (1) находим XA:
Из уравнения (6) находим YB^
Из уравнения (2) находим YA:
Из уравнения (3) находим ZA:
Ответ:
XA= -1,67kH
YA= -29,11kH
ZA= -0,10kH
YB=25,11kH
ZB=2,60kH
N= -5,39kH
Знаки указывают, что силы  направлены противоположно показанным на рис. С 2.0.
Задача К1
 Дано:
 Три движения точки на плоскости
Найти:
 - уравнение траектории точки
 для момента времени
  y
B
x
Рис. К 1.0.
Решение:
1) Для определения уравнения траектории исключим из заданных уравнений движения время t:
 (1)
Преобразуя систему (1), получим:
 (2)
Поскольку время е входит в аргументы тригометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу:  то есть:
Итак, получаем:
 (3)
Преобразуя систему (3), получим:
 (4)
Преобразуем: 
Упрощая выражение, получим:
  (5)
Выражение (5) – это уравнение траектории точки. График – парабола с вершиной в точке (0;11) на рис. К.1.0 а
2) Скорость точки найдем по ее траектории на координатной оси:
 см/с
 y
 (0;11)
y=-0,375x2
+11
(-5,4;0)(5,4;0)
 x
Рис. К 1.0 а
При t=1 сек, находим 
 
При t=t1=1 сек, находим 
Находим скорость точки:
3) Аналогично найдем уравнение точки:
При t=t1=1 сек, находим
При t=t1=1 сек, находим:
Находим ускорение точки:
Найдем касательное ускорение, дифференцируя по времени равенства:
Учитывая найденные значения  при t= 1 сек, получим:
5)Нормальное ускорение определяется по формуле:
6)Радиус кривизны траектории определяется по формуле:
Ответ:
a1=1,73 см/с2
aT=1,07 см/с2
an=1,36 cм/c2
 =7,53 см
Задача К2
Дано:
 l1=0,4 м
l2=1,2 м
l3=1,4 м
l4=0,8 м
 =60°
 =60°
 =60°
 =90°
 =120°
 4=3с-2
 =10с-2
Найти:
 -?
                     
   2
 
 
O1
4
O2
Рис. К2.0.
Решение:
1) Строим положение данного механизма в соответствии с заданными узлами (рис К2.0)
2) Определяем скорость точки  по формуле:
Точка одновременно принадлежит стержню . Зная  и направление  воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня  ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая )
Точка В одновременно принадлежит к стержню 3 те к стержню АВ. При помощи теоремы о проекциях скоростей определяем скорость точки А:
Для определения скорости точки D стержня АВ построим мгновенный центр скоростей для звенья АВ (рис. К 2.0)
Определяем угловую скорость звенья 3 по формуле:
Из треугольника АС3В при помощи теоремы синусов определяем С3В:
Т.О., угловая скорость стержня 3 равна:
Скорость точки D стержня АВ определяется по формуле:
С3D определяем при помощи теоремы синусов:
Итак:  =
Определяем ускорение точки А.
Т.к., угловая ускорение  известно, то
Найдем нормальное ускорение точки А определяем по формуле:
Ускорение точки А плоского механизма определяется по формуле:
Ответ:
Задача Д1
 Дано:
m=2 кг
Найти:
x=f(t) – закон движения груза на участке ВС
            А
     
 
C В 
  D
x 30°
Рис. D 1.0.
Решение:
1) Рассмотрим движение груза D на участке АВ, считая груз материальной точкой.
Изображаем груз (в произвольном положении) и действующее на него силы:
 . Проводим ось AZ в сторону движения и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
 (1)
 (2)
Далее, находим:
 (3)
Учитывая выражение (3) в (2) получим:
 (4)
 (5)
Принимая g=10ми/с2 получим:
Интегрируем:
Начальные условия:
При t=0; 
или
ln(7-0,2* )= C1
При t=t1=2,5сек,  , получим:
2) Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС, найденная скорость  будет для движения на этом участке начальной скоростью
Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы:
 (рис. D1.0)
Проведем из точки В ось BX и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
 (6)
Т.к.,  то уравнение (6) примет вид:
 (7)
Разделив обе части равенства на m=2 кг, получим
 (8)
 (9)
Умножим обе части уравнения (9) на  и проинтегрируя, получим:
Учитывая начальные условия:
При 
Т.о., 
Умножим обе части равенства на dt и снова интегрируем, получим:
Начальные условия: при 
Итак:
Ответ:
Это закон движения груза D в изогнутой трубе АВС.
|
