Курсовая работа: Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Курсовая работа

"Решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп"

Введение

В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие -субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.

В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.

В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие -субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.

Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не -группы.

В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1. Субнормальные подгпруппы и их свойства

Определение. Пусть – подгруппа группы . Цепь подгрупп

в которой для любого , ,…, , называется субнормальной -цепью, а число – длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы в и обозначается через .

Определение. Пусть – подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .

Лемма. Если субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .

субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь

субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Таким образом, мы получили субнормальную -цепь

то есть субнормальна в по определению. Лемма доказана.

Теорема. Если подгруппа субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что

Доказательство. Пусть – дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :

Из того, что не нормальна в , следует, что . не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что – дефект подгруппы в группе , так как в этом случае подгруппу в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент такой, что . Теперь имеем

Так как , то . С другой стороны, и , откуда получаем . Теорема доказана.

Определение. Пусть – субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь

называется канонической, если для любой субнормальной -цепи

имеет место , , ,…, .

Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.

Теорема. Если субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.

Доказательство. Пусть – дефект подгруппы в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины .

все субнормальные -цепи длины ( – второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,…, мы имеем

Таким образом, цепь

является субнормальной -цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как при любых и , то теорема доказана.

Теорема. Если субнормальна в и – подгруппа , то пересечение есть субнормальная подгруппа .

Доказательство. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :

Положим . Получаем цепь

Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит, и . Тогда для любого , так как и .

Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.

Следствие. Пусть и – подгруппы группы . Если субнормальна в и – подгруппа , то субнормальна в .

Доказательство. Пусть и цепь

является субнормальной -цепью.

Положив , получим субнормальную -цепь

что и требовалось.

Теорема. Пусть субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение есть субнормальная подгруппа в.

Доказательство. Пусть – наибольший из дефектов подгрупп и в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи

Положим , , ,…, . Из , следует, что нормальна в . Следовательно, цепь

является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.

Лемма. Если субнормальна в , а – нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .

Доказательство. субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Следовательно, цепь

будет субнормальной.

Действительно, так как и , то . Лемма доказана.

Лемма. Если подгруппы и субнормальны в и , топроизведение есть субнормальная подгруппа группы .

Доказательство. Если нормальна в , то результат следует по лемме 1.9.

Предположим, что не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если и субнормальны в причем и , то по индуктивному предположению субнормальна в .

Пусть – каноническая субнормальная -цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого цепь

будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит, для любого , ,…, (по определеделению).

Следовательно, содержится в для любого . Так как и , то по индукции субнормальна в . По следствию 1.7.1 субнормальна в . Так как и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме 1.9 подгруппа субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.

Теорема. Если и – субнормальный подгруппы группы , то есть также субнормальная подгруппа .

Доказательство. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1 субнормальна в . Докажем, что нормальна в . Предположим противное, то есть что не нормальна в . Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , и . Так как субнормальна в и , то субнормальна в . Получается следующая ситуация: и субнормальны в , . По лемме 1.10 субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует , что противоречит .

Итак, нормальна в , а значит, и нормализуют подгруппу . По лемме 1.10 и субнормальны в . Так как и , то ввиду выбора получаем . Следовательно, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.

Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.

Теорема (Виландт). Множество всех субнормальных подгрупп группы образует подрешетку решетки .

Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.

Теорема. Пусть – некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:

1) если и , то ;

2) если , , , , то .

Тогда для любой подгруппы .

Доказательство. Возьмем произвольную подгруппу из . Если не нормальна в , то по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если не нормальна в , то найдется такой, что , , . Тогда и . Если не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где – некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.

Следствие. Если – непустой радикальный класс, то содержит все субнормальные -подгруппы группы .

Доказательство. Пусть – множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.

Следствие. Для любой субнормальной подгруппы группы справедливы следующие утверждения:

1) если – -группа, то ;

2) если нильпотентна, то ;

3) если -нильпотентна, то ;

4) если разрешима, то .

2. Минимальные не -группы

Лемма [3]. Пусть , где – локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) группа монолитична с монолитом

2) – -группа для некоторого простого ;

3) – -эксцентральный главный фактор ;

4) ;

5) если группа неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;

6) если абелева, то она элементарна;

7) если , то – экспонента ; при экспонента не превышает 4;

8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы из имеет место

9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;

10) если и подгруппа содержит , то для любого полного локального экрана формации ;

11) если – -абнормальная максимальная подгруппа группы и – некоторый полный локальный экран , то – минимальная не -группа и либо , либо .

Доказательство. 1) Пусть – минимальная нормальная подгруппа из такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак, – минимальная нормальная подгруппа . Так как – формация, то, нетрудно заметить, что – единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что

Отсюда следует, что

2) Выше мы показали, что – главный -фактор. Покажем, что – -группа. Предположим противное. Пусть простое число делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где – содержащаяся в силовская -подгруппа из . Тогда

Отсюда и из насыщенности получим . Но тогда , что невозможно.

Пусть – главный фактор группы . Ввиду 2) является -группой и . Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] . Отсюда следует, что , т.е. .

Обозначим через коммутант группы . Так как – -корадикал группы , то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы на участке от до -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности заключаем, что . Так как

то мы получаем тaкже рaвенство . Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.

Докажем 7). Предположим, что неабелева. Пусть – произвольный элемент из . Ввиду 4) , причем . Следовательно,

для всех элементов , из . Это означает, что имеет экспоненту . Учитывая это и то, что содержится в , получаем для любых , из при :

Значит, отображение является -эндоморфизмом группы . Так как

то -гиперцентральна в . Вспоминая, что – -эксцентральный главный фактор, получаем равенство . Так как имеет экспоненту , то утверждение 7) при доказано.

Пусть . Тогда

где . Рассматривая отображение как и выше получаем, что . Значит имеет экспоненту не больше 4.

Докажем 8). Выше мы доказали, что . Пусть . Тогда в найдется такая максимальная подгруппа , что . Так как , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . По теореме 9.4 из [5] имеем для любой -абнормальной максимальной подгруппы группы . Нетрудно показать, что .

По теореме 7.11 из [5],

Так как , то

Ввиду того, что и – главный фактор , имеем . Итак, . Пусть – любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Ясно, что

Не ограничивая общности, положим . Тогда – единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что и . Но – -группа. Значит, . По условию . Следовательно, ввиду полноты экрана имеет место

то . Таким образом, всякая собственная подгруппа группы принадлежит . Допустим, что . Тогда

и поэтому . Полученное противоречие показывает, что , т.е. – минимальная не -группа.

Предположим теперь, что . Покажем, что . Не теряя общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где и , где . Для всякого через обозначим подгруппу . Предположим, что все отличны от . Так как , то – дополнение к в . Если для всех различных и , то

и поэтому . Противоречие. Значит для некоторых различных и . Из последнего вытекает

что невозможно. Полученное противоречие показывает, что для некоторого и, следовательно, . Лемма доказана.

Лемма [4]. Пусть – наследственная локальная формация, – такая нормальная подгруппа группы , что . Тогда равносильно .

Доказательство. Пусть . Тогда , и если – произвольная максимальная подгруппа , то , а значит, и принадлежит . Следовательно, .

Предположим теперь, что . Понятно, что .Пусть – произвольная максимальная подгруппа , тогда . Пусть – произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6] формация наследственна. Следовательно, если , то сразу получим . Если же , то вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть – локальная наследственная формация, – некоторый ее полный экран. Группа принадлежит тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) ;

2) , где – главный -фактор группы , – минимальная не -группа.

Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.

Достаточность. Пусть и – произвольные максимальные подгруппы . Покажем, что . Если -абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию

Следовательно, и по лемме 2.1 – -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] . Итак, . Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть – локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) для любого из ;

2) тогда и только тогда, когда для любого из , – главный фактор , .

Доказательство. 1) Пусть – произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное. Пусть – подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как – постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5] для любого из . Если , то из того, что следует . Получили противоречие. Итак, – собственная подгруппа из . Но тогда , что невозможно.

2) Пусть . Покажем, что . Так как

то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть – произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда по лемме 2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что – -группа. Так как и – постоянный экран, то . Пусть – произвольная собственная подгруппа из . Так как формация наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,

Если теперь , то . Отсюда нетрудно заметить, что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что

есть главный -фактор группы .

Пусть теперь . Очевидно, что . Пусть – собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда

Согласно пункту 1 . Пусть . Тогда – собственная подгруппа группы . Тогда

Отсюда . А это значит, что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.

Лемма. Пусть – непустая наследственная формация. Тогда:

1) если – подгруппа группы и , то -субнормальна в ;

2) если -субнормальна в , – подгруппа группы , то -субнормальна в ;

3) если и -субнормальные подгруппы , то – -субнормальная подгруппа ;

4) если -субнормальна в , а -субнормальна в , то -субнормальна в ;

5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы является -субнормальной;

6) если – -субнормальная подгруппа группы , то -субнормальна в для любых .

Лемма. Пусть – непустая формация, – подгруппа группы , – нормальная подгруппа из . Тогда:

1) если -субнормальна в , то -субнормальна в и -субнормальна в ;

2) если , то -субнормальна в тогда и только тогда, когда -субнормальна в .

3. Формации с решеточным свойством

Лемма [1]. Пусть – наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) группа принадлежит , если , – -субнормальные -подгруппы группы ;

3) – формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы содержится в -радикале этой группы.

Установим, что из 1) следует 2).

Пусть – контрпример минимального порядка. В этом случае , где -субнормальная -подгруппа группы , , и не принадлежит . Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7] формация является насыщенной. Поэтому группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и .

Если , то – простая группа. Так как и – -субнормальная подгруппа группы , , то либо , либо . Значит, . Противоречие с выбором группы .

Пусть . Рассмотрим подгруппы и . Так как – собственная -субнормальная подгруппа и , то нетрудно видеть, что – собственная подгруппа , . Покажем, что .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть – абелева группа. Тогда – -группа, – простое число. Так как и подгруппа -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем , .

2. Пусть – неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Так как подгруппа -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и подгруппа -субнормальна в группе . Пусть

Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для любого из . Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то – -субнормальная подгруппа . Кроме того, из следует, что . Если , то . Получили противоречие с . Значит, . Так как нормальна в , то нормальна в . Но

где – неабелева простая группа и для всех . Поэтому

Из и наследственности формации следует, что . Но тогда . Далее, так как , то по лемме 2.5 подгруппа -субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из получаем что

Пусть – добавление к подгруппе в группе . Так как , то . В силу насыщенности формации из

и

получаем, что . Итак, , и .

Используя тождество Дедекинда, имеем

Если предположить, что , то . В этом случае

Так как , то не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что , .

Так как подгруппа -субнормальна в группе и , то из наследственности формации следует, что подгруппа -субнормальна в .

Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то – -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из и наследственности формации имеем . Обозначим , , и рассмотрим подгруппу . Если , то , что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы .

Пусть . Из , нормальности в и нормальности в следует, что нормальна в .

Так как

то

Таким образом получаем

Так как , то – подгруппа из . Тогда из -субнормальности в подгрупп и следует, что подгруппа

-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства . Значит, . Противоречие.

Докажем, что из 2) следует 3). Пусть , где – нормальная -подгруппа группы , . Так как

и , то . Из наследственности формации получаем, что подгруппа -субнормальна в . Ввиду леммы 2.6 подгруппа теперь -субнормальна в , . Так как выполняется условие 2) леммы, то

Следовательно, – формация Фиттинга.

Пусть – -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для всех . Так как выполняются условия 2) леммы, то

Отсюда следует, что

Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть и – -субнормальные подгруппы группы и . Если – минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что . Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что – -субнормальная подгруппа группы . На основании леммы 2.6 тогда подгруппа -субнормальна в . Если , то по индукции подгруппа -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.

Будем далее считать, что для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что . Если , то в силу леммы 3.1.3 субнормальна в . Но тогда ввиду [8]

Это означает, что . Противоречие. Значит и . Аналогично доказывается, что . Итак, и .

По условию леммы – формация Фиттинга и , . Следовательно,

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в . Тогда

Из наследственности формации следует, что – -субнормальная подгруппа группы .

Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп и группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 – также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть – наследственная локальная формация. Если замкнута относительно расширений, то формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.

Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации и обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть – некоторое семейство классов групп. Обозначим через класс всех групп , представимых в виде

где и , .

Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:

1) пусть – наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) пусть – некоторое семейство наследственных локальных формаций и для любых . Тогда и только тогда формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 и – формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что также является формацией Фиттинга.

Пусть – -субнормальная подгруппа группы и . Ясно, что подгруппа -субнормальна в для любого . Так как и , то ввиду леммы 3.1 получаем, что и . Следовательно,

Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.

Докажем утверждение 2). Пусть формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что . Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп.

Обратно, пусть для любого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть

Индукцией по порядку группы покажем, что любая группа , где , – -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что . Так как – насыщенная формация, то имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Ясно, что

Отметим также, что

где – изоморфные простые группы для .

Докажем, что . Рассмотрим группу . Так как подгруппа -субнормальна в , то . Тогда по индукции

Рассмотрим пересечение . Если

то

Отсюда и из того факта, что – нормальная подгруппа и следует, что .

Пусть . Так как – нормальная подгруппа из , то – нормальная подгруппа из . А это значит, что

Из наследственности формации и получаем, что . Но тогда .

Из строения и

для любых , следует, что для некоторого . Так как

то нетрудно видеть, что группа имеeт -холловскую подгруппу .

Так как , то – -субнормальная подгруппа группы . Так как , и , – -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что

Отсюда и из ввиду получаем . Аналогично доказывается, что . Таким образом,

Отсюда и из -субнормальности и в нетрудно заметить, что , – -субнормальные подгруппы группы . Из и ввиду наследственности следует, что и . Так как по условию формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1

Итак, содержит некоторую группу , где , – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то имеет вид

где для любых из ;

2) если – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1) Покажем, что является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что и .

Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3

где – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , ( – простое число), а – максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не -группой.

Докажем, что – циклическая -группа для некоторого простого числа . Допустим противное. Тогда в найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы и . Рассмотрим в подгруппу , . Ясно, что -субнормальна в , . Из , и по лемме 3.1 получаем, что . Получили противоречие с выбором .

Следовательно, – циклическая группа порядка , где – некоторое простое число, , – натуральное число. Допустим, что . Обозначим через – регулярное сплетение циклических групп и соответственно порядков и .

По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как и , то ввиду теоремы 2.4 из [5] .

Рассмотрим регулярное сплетение , где . Тогда , где – элементарная абелева -группа. Так как , то . Из

следует что .

Рассмотрим в подгруппы и , где – база сплетения . Ясно, что -субнормальна в , . Кроме того, . Отсюда

Так как , то по лемме 3.1. Получили противоречие.

Следовательно, и – группа Шмидта. Если и , то по лемме 1.1.6 также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной формацией.

Покажем, что формация имеет такой локальный экран , что

p(F)p'(F)p(F) Действительно. Пусть – локальный экран формации . Так как для любого простого числа из , то . Покажем обратное.

Пусть – группа минимального порядка из . Так как – наследственная формация и – насыщенная формация, то – минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме 2.3

где – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем – -группа, , а – минимальная не -группа. Как показано выше является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть – группа простого порядка. Так как , то очевидно, что . Противоречие.

Пусть – группа Шмидта. Тогда – группа простого порядка, причем , . Так как , то очевидно, что

Отсюда следует, что . Получили противоречие. Следовательно .

Итак, и – полный локальный экран формации .

Покажем, что либо для любых простых , .

Вначале докажем, что из следует . Допустим противное. Пусть . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем , который существует по лемме 18.8 из [6].

Возьмем группу . Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый -модуль над полем . Рассмотрим группу

Так как

то . Ясно, что . Так как , то найдется такой, что . Заметим, что . Тогда

Так как , то -субнормальна в и -субнормальна в . По лемме 3.1 . Получили противоречие. Таким образом, если , то .

Пусть теперь . Тогда . Предположим, что найдется такое простое число , которое не принадлежит . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем .

Группа принадлежит ввиду и . Теперь рассмотрим точный неприводимый -модуль . Группа формации не принадлежит, так как . Ясно, что . Рассуждая как и выше, можно показать, что для некоторого , причем подгруппы , -субнормальны в , причем , принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.

Следовательно, если , то , а значит . Более того, если

где и , то и , а значит, .

Таким образом, множество можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде , где для любых из и для . Покажем, что

Обозначим

Так как для любого имеет место , то включение очевидно.

Допустим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Так как – наследственная формация, то . Группа непримарна в силу равенства и локальности формации . Из строения

и нетрудно показать, что – группа Шмидта. Ясно, что . Тогда по теореме 26.1 из [5] , где – элементарная абелева -группа, – некоторые простые числа. Так как , то

Как показано выше, для некоторого номера . Но тогда . Получили противоречие с выбором . Следовательно,

где для всех .

Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация тогда и только тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда

Заключение

В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток -субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.

В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.

Список использованных источников

1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.

2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.

3. Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.

4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск: Наука и техника, 1981. – С. 138–149.

5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.

6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.

7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.

8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.

9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.

10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.