Курсовая работа: Инвариантные подгруппы бипримарных групп

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Инвариантные подгруппы бипримарных групп

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-41 Таратын В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.

Гомель 2006

Содержание

Введение

1. Основные обозначения

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

Заключение

Список литературы

Введение

В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Инвариантные подгруппы бипримарных групп". Цель этой курсовой работы состоит в том, чтобы исследовать существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах.

Моя курсовая работа состоит из трех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе, что значительно упрощает дальнейшую работу и проверку курсовой.

Во втором пункте было рассказано про инвариантные подгруппы бипримарных групп.

В третьем пункте изложен материал о порядках силовских подгрупп общей линейной группы.

Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , и делит порядок ;

2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;

3) , 1 и делит порядок .

Теорема. Пусть - группа порядка , и - простые числа. Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , , и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , , и .

Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , и .

Теорема. Пусть и - различные простые числа и - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:

1) , , - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , , - любое натуральное число ;

3) , , - любое натуральное число за исключением , где ; , где - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для дополнительно исключаются числа , , и ; для дополнительно исключаются и .

Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из девяти источников.

1. Основные обозначения

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

1. Введение. Две работы (1) и (2), написанные Бернсайдом в 1904 г., посвящены конечным бипримарным группам - группам порядка , и - различные простые числа. В первой работе доказана разрешимость таких групп. Во второй - устанавливался следующий факт: в группе порядка при существует характеристическая -подгруппа порядка , за исключением двух случаев , и , .

Однако группа , являющаяся расширением элементарной абелевой группы порядка с помощью силовской -подгруппы из группы автоморфизмов группы , имеет порядок , и в нет неединичных инвариантных -подгрупп. Этот пример указывает на то, что в работе имеется пробел.

В настоящей работе рассматривается более общая ситуация, чем в . А именно, изучаются разрешимые группы порядка , где . Основным результатом является

Теорема Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , и делит порядок ;

2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;

3) , 1 и делит порядок .

Если и - различные простые числа, и - целые положительные числа, то либо , либо . Поэтому теорема распространяется па все бипримарные группы.

Теорема Пусть - группа порядка , и - простые числа. Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , , и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , , и .

Следствие Если и - нечетные простые числа и , то любая группа порядка обладает характеристической -подгруппой порядка .

Следующая теорема показывает, что границы, установленные для чисел и , являются точными и что инвариантной -подгруппы в исключительных случаях теорем (4) и (1) может и не быть.

Теорема Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , и .

2. Порядки силовских подгрупп полных линейных групп. На множестве натуральных чисел введем следующую функцию:

где и взаимно просто с . Из определения вытекает, что есть показатель, с которым входит в произведение . Поэтому

где - целая часть числа (см. ) и - наибольшее число, при котором .

Тогда

Лемма .

Лемма Пусть - показатель, которому принадлежит по модулю , и пусть , не делит . Тогда и только тогда делит , когда кратно . Если , не делит , то, за исключением случая , число есть наивысшая степень , которая делит .

Доказательство. Первое утверждение вытекает из свойств показателей (см. (5)). Вычислим , используя бином Ньютона:

Заметим, что

есть целое число. Действительно, и число делит произведение . Учитывая, что , из леммы получаем, что и делит . Теперь

где - целое число. Так как не делит , то выражение в скобках не делится на , за исключением случая . Лемма доказана.

Исключение , в лемме существенно; легко заметить, что при , лемма неверна. Случай был как раз и пропущен в рассуждениях работы (5).

Лемма Пусть , - нечетное число и - наименьшее целое число, при котором . Пусть . Определим число так: если, , то . если , тo - нечетное число. Тогда

1) если - нечетное число, то ; ;

2) если - четное число и , - нечетное число, то , , где , , и - нечетные числа.

Доказательство. Воспользуемся биномом Ньютона:

Если - нечетное число, то

- нечетное число. Если - четное число, то

- нечетное число.

Пусть теперь - нечетное число . Тогда

где

Ho - нечетное число, поэтому - нечетное число. Так как , если , и , если , то , где - нечетное число.

И наконец, если , . - нечетное число, то

- нечетное число. Лемма доказана.

Лемма Пусть и - различные простые числа, - показатель числа по модулю и , не делит . Пусть , или и - порядок силовской -подгруппы группы . Если , то , где - целое число, удовлетворяющее неравенству . Если , то . Здесь число определяется как и в лемме3.

Доказательство. Порядок группы известен (см.2):

Ясно, что - наивысшая степень , которая делит произведение .

Рассмотрим, вначале случай, когда . Применяя лемму (3), заключаем, что в произведении лишь следующие сомножители кратны :

где определяется неравенством . Так как есть наивысшая степень , которая делит , где , не делит , то наивысшая степень , которая делит , есть .

Следовательно,

.

Пусть теперь . Тогда и . Заметим, что

Применим индукцию по . Если , то , а так как , и , то утверждение для справедливо.

Предположим, что равенство выполняется для , и докажем его для . Пусть вначале есть нечетное число, т.е. , и . По лемме (4) , - нечетное число. Поэтому . Так как , а , то утверждение для справедливо.

Пусть теперь - четное число. Тогда и . Кроме того, если , не делит , то по лемме , - нечетное число. Значит,

Лемма доказана полностью.

Лемма Пусть и - различные простые числа и - порядок некоторой -подгруппы группы . Тогда либо , либо справедливо одно из следующих утверждении:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , , и .

Доказательство. Пусть - показатель числа по модулю и , не делит . Так как - порядок силовской -подгруппы группы , то . Если , то лемма справедлива. Поэтому пусть в дальнейшем . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме в этом случае , где определяется неравенством . Допустим, что . Так как , то и - противоречие. Значит, , поэтому либо , либо .

Пусть . Тогда , а так как , то и . Если , то и - противоречие. Если , то . Кроме того, . Поэтому из условия следует, что . Получили утверждение для из пункта 2.

Теперь пусть . Тогда . Легко показать, что , поэтому . Если , то и . Отсюда следует, что

получили противоречие. Значит, , т.е. и . Поэтому . Воспользуемся неравенством , которое справедливо при . Тогда

и из следует, что и . Получили утверждение из пункта 3. Случай разобран полностью.

Рассмотрим теперь случай . Тогда . Пусть - наименьшее целое число, при котором , и пусть . Предположим, что . Тогда . Но и , поэтому и . Если , то , и . Кроме того, . Отсюда . Следовательно, при справедливо неравенство . Так как , то и

Таким образом, при всегда . Значит, надо рассмотреть лишь два случая: и .

Пусть , тогда . Непосредственно проверяется, что при . При имеем , причем . Поэтому . Получили утверждение из пункта 1.

Осталось рассмотреть . Теперь . В силовская -подгруппа имеет порядок . Так как , то и . Но , . Поэтому этот случай записан в пункте 2. Лемма доказана полностью.

Доказательство теоремы . Пусть , - упорядоченная пара простых чисел, - натуральное число и , , удовлетворяют одному из трех требований теоремы. Через обозначим элементарную абелеву группу порядка , через - силовскую -подгруппу группы . Так как есть группа автоморфизмов группы , то группа , являющаяся расширением группы с помощью группы , не имеет инвариантных -подгрупп . Покажем, что - искомая группа. Вычислим порядок группы . Из леммы следует, что причем:

1) , если и ;

2) , если , и , если , , ;

3) , если , .

В первых двух случаях непосредственно проверяется, что . Используя неравенство , которое справедливо при , в третьем случае получаем . Таким образом, и в каждом из трех случаев . Теорема доказана.

3. Доказательство теоремы . Допустим, что теорема неверна и группа - контрпример минимального порядка. Пусть - силовская -подгруппа, - силовское -дополнение в .

Обозначим через наибольшую инвариантную -подгруппу из . Подгруппа характеристическая и не имеет неединичных инвариантных -подгрупп. Предположим, что . Факторгруппа имеет порядок . Если , то - противоречие. Поэтому и для выполняется одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы. Но тогда это утверждение выполняется и для - противоречие. Следовательно, в нет неединичных инвариантных -подгрупп.

Пусть - подгруппа Фиттинга группы . Так как разрешима, то . Ясно, что . Если , то и группа удовлетворяет условию теоремы. Но для не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы, иначе оно выполнялось бы и для . Поэтому группа обладает неединичной инвариантной -подгруппой . Теперь централизует , а это противоречит теореме о том, что в разрешимых группах подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор (см. ). Таким образом, .

Допустим, что подгруппа Фраттини группы неединична. Тогда факторгруппа удовлетворяет условию теоремы. Если в имеется неединичная инвариантная -подгруппа , то по теореме Гашюца группа нильпотентна и обладает инвариантной -подгруппой - противоречие. Но для не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3. Следовательно, и все силовские в подгруппы элементарные абелевы.

Пусть , - силовская подгруппа группы . Тогда группа автоморфизмов группы является прямым произведением групп (см. ). Так как совпадает со своим централизатором в , то изоморфна некоторой -подгруппе из . Но силовская -подгруппа из имеет вид , где - некоторая силовская -подгруппа из (см. ). Поэтому изоморфна некоторой подгруппе из . По условию теоремы , поэтому существует номер такой, что .

Если , то и , есть силовская -подгруппа группы . Применяя лемму , заключаем, что , и или , и , или , и . Используя условие , нетрудно получить соответствующие оценки для числа . Теорема доказана.

4. Пример. В 1969 г.Г.Я. Мордкович на Гомельском алгебраическом семинаре С.А. Чунихина высказал предположение: в группе порядка при либо силовская -подгруппа инвариантна, либо существует неединичная инвариантная -подгруппа. Мы построим пример, опровергающий это предположение.

Напомним, что означает наибольшую инвариантную -подгруппу группы . Группа называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа инвариантна.

Лемма Пусть , где - подгруппа группы , . Если для всех , то .

Доказательство проведем индукцией по . Для лемма справедлива. Пусть утверждение верно для и . Так как и , то и . Теперь . Отсюда следует, что . Лемма доказана.

Нам потребуется следующая конструкция Л.А. Шеметкова (см. ).

Лемма Л.А. Шеметков Для любой упорядоченной пары , различных простых чисел существует группа порядка со следующими свойствами:

1) , - показатель, которому принадлежит по модулю ;

2) не -замкнута, силовская -подгруппа из максимальна в и .

Предположение Для каждого из следующих трех случаев

1) , ;

2) , ;

3) , существует не -замкнутая группа порядка , причем и .

Доказательство. Пусть , - упорядоченная пара простых чисел, удовлетворяющая одному из требований предложения . Пусть - -группа из леммы с максимальной силовской -подгруппой, - -группа, построенная в теореме , с инвариантной силовской -подгруппой и , где . Так как не -замкнута, то и не -замкнута. Кроме того, и , . Поэтому, по лемме . Осталось показать, что в каждом из трех случаев натуральное число можно задать так, что группа будет иметь порядок , причем .

Пусть , . Тогда , а . Если , то , где , . Нетрудно проверить, что .

Пусть теперь , . Предположим, что . Тогда , и , где , a . Если в качестве выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству: , то . Допустим теперь, что . Тогда , и , где , . Так как , то существует натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Если положить , то .

Наконец, пусть , . Тогда , и , где , . Теперь в качестве надо выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда . Предположение доказано.

3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

В заметке (1) исправлена ошибка, допущенная Бернсайдом в работе (2). А именно в (3) доказано, что группа порядка , где и - различные простые числа и , либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , и .

Доказательство этого результата сводится к случаю, когда силовская -подгруппа из является минимальной инвариантной подгруппой, совпадающей со своим централизатором. В этом случае силовская - подгруппа из изоморфно вкладывается в общую линейную группу и возникает необходимость сравнить порядок силовской -подгруппы из с числом . В лемме 2.5 из указывались значения , и нижняя граница для числа , при которых порядок силовской - подгруппы из больше .

Цель настоящей заметки - указать все значения чисел , и , при которых силовская -подгруппа из имеет порядок больший, чем .

Теорема Пусть и - различные простые числа и - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только тогда , когда выполняется одно из условий:

1) , , - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , , - любое натуральное число ;

3) , , - любое натуральное число за исключением , где ; , где - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для дополнительно исключаются числа , , и ; для дополнительно исключаются и .

Доказательство теоремы основывается на формуле для вычисления порядка силовской -подгруппы общей линейной группы , полученной в .

Пусть и - различные простые числа, - показатель числа по модулю и , не делит . Через обозначим порядок силовской -подгруппы группы , а через - показатель, с которым входит в произведение . В доказана следующая

Лемма Если , то . Если , то и число определяется так: пусть - наименьшее целое, при котором и ; если , то ; если , то , - нечетное число.

Напомним, что - целая часть числа , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее (см. ).

Лемма Если - натуральное число, то

Доказательство. Пусть - наибольшее целое число, при котором . Так как , то

С другой стороны,

и .

Лемма Если - натуральное число , то .

Доказательство проводим индукцией по . Если , то

Пусть утверждение верно для . Докажем его для .

Если кратно , то

. Но - целое число, а -

дробное. Поэтому

Если кратно , то .

Пусть, наконец, оба числа и не кратны , тогда , причем не целое число. Так как число целое, то , откуда . Лемма доказана.

Лемма Если - натуральное число, а - наибольшее целое число, при котором , то .

Доказательство. По лемме , , поэтому . Неравенство докажем индукцией по . Для и справедливость неравенства проверяется непосредственно.

Пусть и пусть это неравенство верно для всех . Докажем его для . Разность обозначим через . Так как , то . Поэтому если - наибольшее целое число, при котором, , то и по индукции имеем

Вычислим . Так как

то

Лемма доказана.

Замечание. Границы, указанные в лемме , точные. Левая граница достигается при , правая - при .

Лемма Если натуральное число , то и .

Доказательство обоих неравенств легко получить индукцией по .

Доказательство теоремы 3. Сохраним все обозначения леммы . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме (5), в этом случае , где . Допустим, что . Так как , то и . Поэтому , и, применяя лемму , получаем , что противоречит условию теоремы.

Значит, , поэтому либо , либо .

Пусть . Тогда , а так как , то и .

Пусть . Тогда . Если четное, то , т.е.4 делит . Противоречие. Значит, нечетное. Поэтому , и так как число нечетное, то . Таким образом, если , то .

Итак, если , то либо и , либо и .

Пусть . Тогда из леммы следует, что

Предположим, что . Тогда (см. лемму ), а так как при справедливо неравенство , то . Учитывая, что или , получаем .

Если , то и . Кроме того, , поэтому

и .

Таким образом, при выполняется неравенство . Так как , то . Противоречие с условием теоремы.

Следовательно, или и или .

Итак, нам необходимо рассмотреть следующие случаи: , ; , ; , .

Случай 1. Пусть , . В этом случае

Если , то, вычисляя для каждого значения с помощью натуральных логарифмов, убеждаемся; что в точности для следующих , , , , , , , , --, --.

Пусть и - наибольшее натуральное число, при котором . Ясно, что . С помощью индукции легко проверяется неравенство; . Используя лемму , мы получаем:

Теперь

Таким образом, .

Случай 2. Пусть , . В этом случае , где , если четное, и если нечетное, а . Если или 3, а , то непосредственно убеждаемся, что . Если , то , а и т.е. . Используя лемму , получаем

т.е.

Теперь пусть . Из леммы имеем или . Поэтому . Осталось рассмотреть случай, когда . Тогда , поэтому, используя леммы и , получаем:

Таким образом, при любом имеет место неравенство .

Случай 3. Пусть , . В этом случае , где - целая часть числа . Если , то и . Отсюда следует, что . Противоречие. Значит, и . Мы можем записать , .

Рассмотрим вначале случай, когда , т.е. когда .

Тогда , .

Если , то , где - основание натуральных логарифмов и

, т.е. .

Если , то и , т.е. . Найдем значения для и . Для имеем:

Для имеем:

Если , то , и при получаем

, т.е. .

Если , то . Определим для и значения , при которых . Для имеем , т.е. , а . Для имеем , т.е. , а .

Теперь рассмотрим случай, когда , т.е. когда .

Если , то и . Непосредственно убеждаемся, что лишь при или имеет место неравенство .

Если , то и . Непосредственно убеждаемся, что лишь только при и имеет место неравенство .

Пусть . Так как , a , то

,

так как .

Таким образом, .

Пусть теперь . Тогда . Пусть вначале . Тогда , и по лемме 3 имеем . Поэтому

Здесь мы воспользовались неравенством , которое вытекает из неравенства . Таким образом, доказано, что .

Остался случай . Так как , то

и, применяя лемму , получаем

Таким образом, .

Теорема доказана.

Заключение

Итак, в данной курсовой работе исследовано существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах. Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , и делит порядок ;

2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;

3) , 1 и делит порядок .

Теорема. Пусть - группа порядка , и - простые числа. Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , , и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , , и .

Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , и .

Теорема. Пусть и - различные простые числа и - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:

1) , , - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , , - любое натуральное число ;

3) , , - любое натуральное число за исключением , где ; , где - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для дополнительно исключаются числа , , и ; для дополнительно исключаются и .

Список литературы

Burnside W., On groups of order , Proc. London Math. Soc.2, № 1 (1904), 388--392.

Вurnside W., On groups of order (Second paper), Proc. London Math. Soc., 2, № 2 (1905), 432--437.

Вurnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1911.

Виноградов И.М., Основы теории чисел, М., Наука, 1965.

Huppert В., Endliche Gruppen. I, Berlin, Springer, 1967.

Шеметков Л.А., К теореме Д.К. Фаддеева о конечных разрешимых группах, Матем. заметки, 5, № 6 (1969), 665--668.

Монахов В.С., Инвариантные подгруппы бипримарных групп. Матем. заметки, 18, № 6 (1975) б 877-886.

Burnside W., On groups of order (second paper), Proc. London Math. Soc., 2, N 2 (1905), 432--437.

Виноградов И.М., Основы теории чисел, М., 1965.