| 
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
| Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 1 / 21)
Пояснения к демонстрационному варианту
контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2012 года по МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2012 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.
Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалов, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в 2012 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2012 года.
Правильное решение каждого из заданий В1–В14 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами, С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение всей работы – 32.
Верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.
К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, даётся возможное решение. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.
|
Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2012 года по математике
подготовлен Федеральным государственным научным учреждением
«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»
(2012 - 2 / 21)
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов 2012 года
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.
Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.
 Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.
При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха
!
(2012 - 4 / 21)
Строительная фирма планирует купить 70 м3
пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
| Поставщик
|
Стоимость пеноблоков
(руб. за 1 м3
)
|
Стоимость доставки
(руб.)
|
Дополнительные условия доставки
|
| А
|
2 600
|
10 000
|
Нет
|
| Б
|
2 800
|
8 000
|
При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная
|
| В
|
2 700
|
8 000
|
При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная
|
Найдите корень уравнения log (3
x
− =3) 2.
| Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 5 / 21)
 Диагональ AC
основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равна 6. Высота пирамиды SO
равна 4. Найдите длину бокового ребра SB
.
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).
Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h t
( ) = −5t
2
+18t
, где h
– высота в метрах, t
– время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.
Весной катер идёт против течения реки в 1 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 раза медленнее, чем по течению. Найдите
скорость течения весной (в км/ч).
 Найдите наибольшее значение функции
⎡ π⎤
y
= 2cosx
+ 3
на отрезке ⎢⎣
0;  2
⎥⎦
.
|
Треугольник ABC
вписан в окружность с центром O
. Найдите угол BOC
, если угол BAC
равен 32°.
Найдите sinα, если cosα= 0,6 и π <α< π2 .
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y
= f
(x
). На оси абсцисс отмечены девять точек: x
1
, x
2
, x
3
,..., x
9
. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f
(x
) отрицательна.
В ответе укажите количество найденных точек.
(2012 - 6 / 21)
Часть 2
| Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.
|
⎛ π ⎞
а)
Решите уравнение cos2x
= −1 cos⎜
− x
⎟
.
⎝ 2 ⎠
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
⎡ 5π ⎞
⎢
⎣−  2
;− π⎠⎟ .
 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA B C
1 1 1
равна 2, а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A
1
BC
и плоскостью основания призмы.
| Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.
|
(2012 - 7 / 21)
|
⎧4x
≤ 9 2⋅ x
+ 22,
⎪
Решите систему неравенств ⎨
2
x
+1
⎪log3
(x
− x
− 2) ≤ +1 log3
 .
⎩ x
− 2
На стороне BA
угла ABC
, равного 30D
, взята такая точка D
, что AD
= 2 и
BD
=1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и касающейся прямой BC
.
Найдите все значения a
, при каждом из которых наименьшее значение функции f x
( ) = 2ax
+| x
2
− +8x
7| больше 1.
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8− .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
(2012 - 8 / 21)
Система оценивания демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ
Ответы к заданиям части 1
Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
| Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 9 / 21)
Решения и критерии оценивания заданий части 2
Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом:
решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.
При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.
|
| Задание
|
Ответ
|
| В1
|
5
|
| В2
|
5
|
| В3
|
18
|
| В4
|
192 000
|
| В5
|
12
|
| В6
|
64
|
| В7
|
–0,8
|
| В8
|
3
|
| В9
|
5
|
| В10
|
0,92
|
| В11
|
9
|
| В12
|
2,4
|
| В13
|
5
|
| В14
|
1
|
Ответы к заданиям части 2
| Задание
|
|
Ответ
|
| С1
|
а)
б)
|
k
, n
∈], k
∈].
|
| С2
|
30°
|
|
| С3
|
(2; log 11 2
]
|
|
| С4
|
1 или 7
|
|
| С5
|
 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ; 4 + 6⎟
⎝ 2 ⎠
|
|
| С6
|
а) 44; б) отрицательных; в) 17
|
(2012 - 10 / 21)
⎛ π ⎞
а)
Решите уравнение cos2x
= −1 cos⎜
− x
⎟
.
⎝ 2 ⎠
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
⎡ 5π ⎞ ⎢⎣− 2
;− π⎠
⎟ .
Решение.
а)
Так как cos2x
=1− 2sin2
x
, cos⎛
⎜
π
− x
⎟
⎞
= sin x
, то 1− 2sin2
x
= −1 sin ,x
⎝ 2 ⎠
2sin2
x
−sin x
= 0, sin x
⎛
⎜
sin x
−  1
⎞
⎟
= 0.
⎝ 2⎠
Корни уравнения: x
=πn
, x
= −( 1)k
 + πk
, n
∈], k
∈].
 б)
Корни уравнения sin x
= 0 изображаются точками A
и B
, а
корни уравнения sin x
=  — точками C
и D
, промежуток
 ⎡ 5π ⎞
⎢
⎣− 2
;− π⎠
⎟ изображается жирной
дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня
уравнения: −2π, −2π +  = − и
π 7π
 −π − = − .
6 6
Ответ:
 k
, n
∈], k
∈].
б)
 .
Другие решения пункта б).
⎡ 5π ⎞
б)
Корни, принадлежащие промежутку ⎢
⎣− 2 ;−π⎠⎟
, отберем по графику y
= sin x
. Прямая y
= 0 (ось Ox
) пересекает график в единственной точке
(−2π;0), абсцисса которой принадлежит промежутку ⎢
⎣⎡
−5
2
π
;−π⎠
⎞
⎟
.
(2012 - 12 / 21)
Тогда  .
⎡ 5π ⎞ 11π
Корень, принадлежащий промежутку ⎢
⎣− 2
;−π⎠⎟
: x
= −  6
.
Пусть x
 n n
.
Тогда  .
⎡ 5π ⎞ 7π
Корень, принадлежащий промежутку ⎢
⎣− 2
;−π⎠⎟
: x
= − 6
.
 ⎡ 5π ⎞ 11π 7π Промежутку ⎢
⎣− 2
;−π⎟
⎠
принадлежат корни: − 2π,− 6
, − 6
.
| Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 13 / 21)
Возможны другие формы записи ответа.
Например:
А)  ;
Б)  рад.
В) arctg и т.п.
Возможны другие решения.
Например, с использованием векторов или метода координат.
| Содержание критерия
|
Баллы
|
| Обоснованно получен верный ответ
|
2
|
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано
|
1
|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
|
0
|
| Максимальный
балл
|
2
|
⎧ 4x
≤ 9 2⋅ x
+ 22,
⎪
Решите систему неравенств ⎨
2
x
+1
⎪log3
(x
− x
− 2) ≤ +1 log3
.
⎩ x
− 2
Решение.
2
1. Неравенство 4 ≤ 9 2⋅ + 22 запишем в виде (2 ) −9 2⋅ − 22 ≤ 0. x x x x
Относительно t
= 2x
неравенство имеет вид: t
2
−9t
− 22 ≤ 0, откуда получаем: (t
+ 2)(t
−11) ≤ 0, 2− ≤ ≤t
11.
Значит, 2− ≤ 2x
≤11, x
≤ log 112
.
⎧(x
+1)(x
− 2) > 0,
⎪
2. Второе неравенство системы определено при ⎨ x
+1
⎪ > 0,
⎩ x
− 2
то есть при x
< −1 и x
> 2.
При допустимых значениях переменной получаем:
 ,
 log3
(x
− 2)2
≤1, (x
− 2)2
≤ 3, 2 − 3 ≤ x
≤ 2 + 3 .
 С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 2 < x
≤ 2 + 3.
|
| Содержание критерия
|
Баллы
|
| Обоснованно получены верные ответы в п. а)
и в п. б)
|
2
|
| Обоснованно получен верный ответ в п. а)
, но обоснование отбора корней в п. б)
не приведено или задача в п. а)
обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б)
приведен обоснованный отбор корней
|
1
|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
|
0
|
| Максимальный балл
|
2
|
 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA BC
1 1 1
равна 2, а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A
1
BC
и плоскостью основания призмы.
Решение.
Обозначим H
середину ребра BC
(см. рисунок). Так как треугольник ABC
равносторонний, а треугольник A
1
BC
– равнобедренный, отрезки
 AH
и A
1
H
перпендикулярны BC
. Следовательно, ∠A
1
HA
– линейный угол двугранного угла с гранями BCA
и BCA
.
Из треугольника A
1
AB
найдём: AA
1
= 1.
Из треугольника AHB
найдём: AH
= Из треугольника HAA
1
найдём:
AA
1
= 1 . tg∠A HA
1
=
 AH
3
Искомый угол равен 30°.
Ответ:
30°.
(2012 - 14 / 21)
3. Сравним log 11 2
и 2 + 3. Так как  , то
  2 + 3 > 3,5 = log2
(8⋅ 2) > log2
(8 1⋅ ,4) = log2
(11,2) > log 112
, следовательно, log 112
< 2 + 3 .
Решение системы неравенств: (2; log 11 . 2
] Ответ:
(2; log 11 . 2
]
| Содержание критерия
|
Баллы
|
| Обоснованно получен верный ответ
|
3
|
| Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков
|
2
|
| Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ
|
1
|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
|
0
|
| Максимальный
балл
|
3
|
Комментарий.
Если обоснованно получены оба ответа: x
≤ log 112
и
  2 < x
≤ 2 + 3, после чего лишь сказано
, но никак не обосновано, что log 112
< 2 + 3, то такое решение оценивается в 2 балла.
На стороне BA
угла ABC
, равного 30D
, взята такая точка D
, что AD
= 2 и
BD
=1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и касающейся прямой BC
.
Решение.
Центр O
искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD
. Обозначим P
середину отрезка AD
, Q
– основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую BC
, E –
точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC
(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC
следует, что отрезки OA
, OD
и OQ
равны радиусу R
окружности.
Заметим, что точка O
не может лежать по ту же сторону от прямой AB
, что и точка E
, так как в этом случае расстояние от точки O
до прямой BC
меньше, чем расстояние от неё до точки A
.
Из прямоугольного треугольника BPE
с катетом BP =
2 и ∠B
= 30°
2 3
находим, что PE =
.
3
 Так как OA = R
и AP
=1, получаем: OP
= R
2
−1, следовательно,
 OE
= R
2
−1 + 2 3
.
3
(2012 - 16 / 21)
Пусть теперь точка Q
касания окружности с прямой BC
лежит на продолжении BC
за точку B
(см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку Q
перпендикулярно BC
, пересекает прямую AB
в точке H
, а окружность вторично – в точке T
. Тогда
BQ
= BA BD
⋅ = 3, ∠HBQ
= ∠ABC
= 30°,
 BH
= BQ
1
= 2, HQ
= 1 BH
=1. cos30° 2
| Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 17 / 21)
Возможны другие формы записи ответа.
Например:
А) 1, 7;
Б) радиус окружности равен 7 или 1.
| Содержание критерия
|
Баллы
|
| Обоснованно получен верный ответ
|
3
|
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок
|
2
|
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки
|
1
|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
|
0
|
| Максимальный
балл
|
3
|
Найдите все значения a
, при каждом из которых наименьшее значение функции f x
( ) = 2ax
+| x
2
−8x
+ 7| больше 1.
Решение.
1. Функция f
имеет вид:
a) при x
2
− +8x
7 ≥0: f x
( ) = +x
2
2(a
− 4)x
+ 7, а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x
4= − a
;
б) при x
2
−8x
+ 7 <0: f x
( ) = − x
2
+ (2a
+8)x
− 7, а её график есть часть
параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции f
( )x
показаны на рисунках:
 
Рис. 1 Рис. 2
|
Если R
– радиус окружности, то QT
= 2R
. По теореме о двух секущих HQ HT
⋅ = HA HD
⋅ , то есть 1 1⋅( + 2R
) = (2 + 3)⋅3, откуда находим, что R
= 7.
Ответ:
1 или 7.
(2012 - 18 / 21)
Рис. 3 Рис. 4
2. Наименьшее значение функция f
( )x
может принять только в точках 1x
= или x
= 7, а если 4 − a
∉[1; 7] – то в точке x
= 4 − a
.
3. Наименьшее значение функции f
больше 1 тогда и только тогда, когда
⎧ 1
 f
(1) >1, ⎧2a
>1, ⎪⎪a
> 2,
⎧
⎪ ⎪ ⎪ 1
| Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 19 / 21)
| Содержание критерия
|
Баллы
|
| Обоснованно получен правильный ответ
|
4
|
| Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки
|
3
|
| Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна
|
2
|
| Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом
|
1
|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
|
0
|
| Максимальный балл
|
4
|
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8− .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел k
положительных, l
отрицательных и m
нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4 8 0k
− l
+ ⋅m
= −3(k
+ +l m
).
а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k
+ +l m
— количество целых чисел — делится на 4. По условию 40< + + <k l m
48, поэтому k
+ + =l m
44 .
Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство 4 8k
− l
= −3(k
+ +l m
) к виду 5 7l
= +k
3m
. Так как m
≥0, получаем, что 5 7l
≥ k
, откуда l
> k
. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
воценка
) Подставим k
+ + =l m
44 в правую часть равенства 4 8k
− l
= −3(k
+ +l m
): 4 8k
− =−l
132, откуда k
= −2 33l
. Так как k
+ l
≤44, получаем: 3l
−33≤ 44, 3l
≤ 77, l
≤ 25, k
= 2l
−33≤17; то есть
положительных чисел не более 17.
впример
) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два
|
⎨ f
(7) >1, ⇔ ⎨14a
>1, ⇔ ⎨a
>, ⇔
⎪⎩ f
(4 − a
) >1 ⎪⎩2 (4a
− a
) + | a
2 −9| >1 ⎪⎪2a
214−8a
+ −1 | a
2 −9|< 0
⎪
⎩
  ⎡⎧⎪a
≥ 3, ⎢⎡⎨⎪⎧a
≥ 3,
⎢⎨⎪⎩a
2
−8a
+10 < 0 ⎢⎢
⎪⎩4 −
⎢
⇔ ⎢⎧ ⇔ ⎢⎧⎪⎪
1
2
⇔
⎢⎪
3,
⎢
⎢⎨2 ⎢
⎨
⎢
⎣⎪
⎩3a
2
−8a
−8< 0 ⎢⎢⎣
⎪
⎪⎩
 ⎡3≤ a
< 4 + 6
⇔ ⎢⎢
1
< a
< 3 ⇔ 1
2 < a
< 4 +
⎢⎣2
 ⎛ 1 ⎞ Ответ:
⎜
; 4 + 6 .⎟
⎝ 2 ⎠
(2012 - 20 / 21)
раза написан 0. Тогда  , указанный набор
удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ:
а) 44; б) отрицательных; в) 17.
| Содержание критерия
|
Баллы
|
| Верно выполнены: а), б), впример
), воценка
)
|
4
|
| Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), впример
), воценка
)
|
3
|
| Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), впример
), воценка
)
|
2
|
| Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), впример
), воценка
)
|
1
|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
|
0
|
| Максимальный балл
|
4
|
|
