| Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Контрольная работа
По дисциплине: Алгебра и геометрия
Выполнил
: Шевыряев А.Н.
Группа
: СДТ-03
Вариант:6
Проверил
: ___________________
Новосибирск, 2010 г
Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.
a) Решение системы методом Крамера.
Формулы Крамера:
Найдем значения неизвестных:
Выполним проверку:
b) Решение системы методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы:
Выполним преобразования:
1) умножим первую строку на (-2) и сложим со 2-й строкой матрицы;
2) умножим первую строку на (-3) и сложим с 3-й строкой матрицы;
3) умножим 2-ю строку на (-1) и сложим с 3-й строкой матрицы.
В результате получили матрицу системы треугольного вида.
Запишем итоговую систему:
Найдем значения неизвестных: 
Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды  . Найти:
1) длину ребра  ;
2) угол между ребрами и  ;
3) площадь грани  ;
4) уравнение плоскости .
5) объём пирамиды .
Решение.
Рисунок 1.
1) Длина ребра равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора  . Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле  . Подставляя в эту формулу исходные данные, получим 
2) Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:
В нашем случае: 
Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,
3) Площадь грани можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах  и  численно равна модулю их векторного произведения. В нашем случае
 
4) Уравнение плоскости будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  :
 ;
 ;
Полученное уравнение является уравнением плоскости  .
5) Объем пирамиды найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно 
Найдем смешанное произведение векторов  :
|
