Контрольная работа

«Многомерные и многосвязные системы»

Задание

Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:

1. Передаточную функцию ;

2. Частотную передаточную функцию ;

3. Годограф;

4. Импульсную характеристику ;

5. Переходную характеристику ;

6. ЛАЧХ ;

7. ФЧХ .

Составить структурную схему системы.

Дано:

;

;

.

Решение:

1. Передаточная функция

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

,

.

Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:

; (1)

, (2)

где

; ;

– лапласовы преобразования координат состояния , выходных и входных сигналов.

Преобразуем уравнение (1):

Выносим за скобки:

где

– единичная матрица.

Умножаем слева на обратную матрицу:

Откуда получаем:

.

Подставляем в уравнение (2):

Получаем:

Выражение называют передаточной функцией системы.

Находим её:

Находим обратную матрицу:

Подставляем:

.

2. Частотная передаточная функция

Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :

,

получаем:

.

Выделим действительную и мнимую части:

,

для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно – сопряжённый знаменатель:

;

;

;

.

3. Годограф

Годограф – это график частотной передаточной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности.

Изменяя частоту, производим расчёт действительной и мнимой частей частотной передаточной функции.

Результат расчёта записываем в таблицу 1.

Таблица 1. Расчёт годографа

0	2,8750000	0,0000000	10	-0,0512719	0,4570747	200	-0,00018	0,020008
1	2,7230769	0,9846154	20	-0,0163435	0,2074170	300	-0,000078	0,013336
2	1,9500000	1,9000000	30	-0,0075500	0,1355448	400	-0,000044	0,010001
3	0,8344828	1,9862069	40	-0,0043030	0,1009350	500	-0,000028	0,008001
4	0,2250000	1,5500000	50	-0,0027705	0,0804792	600	-0,000019	0,006667
5	0,0130624	1,1611030	60	-0,0019302	0,0669441	700	-0,000014	0,005715
6	-0,0500000	0,9000000	70	-0,0014209	0,0573176	800	-0,000019	0,005000
7	-0,0645030	0,7269777	80	-0,0010893	0,0501171	900	-0,000009	0,004445
8	-0,0634615	0,6076923	90	-0,0008614	0,0445267	1000	-0,000007	0,004000
9	-0,0578113	0,5216604	100	-0,0006982	0,0400600	2000	-0,000002	0,002000

Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.

Рис. 1. Годограф

4. Импульсная характеристика

Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

.

Найдём полюса передаточной функции:

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию на простые дроби:

.

Используя табличные значения, находим:

,

.

Таким образом, получаем:

.

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2. Импульсная характеристика

	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
	-4	11,28	62,69	100,8	-167,1	-1236	-2395	2097	23854	54578	-15944

Строим график импульсной характеристики – рис. 2.

Рис. 2. Импульсная характеристика

5. Переходная характеристика

Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:

.

Найдём полюса передаточной функции:

; .

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:

.

Приводим к общему знаменателю:

.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:

,

,

.

Откуда находим:

,

,

.

Используя табличные значения, находим:

,

,

.

Таким образом, получаем:

.

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3. Переходная характеристика

	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
	0	0,654	17,59	62,52	69,32	-243	-1209	-1744	3830	24151	42653

Строим график переходной характеристики – рис. 3.

6. ЛАЧХ

Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:

.

далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля:

.

Это и есть выражение для ЛАЧХ.

Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ).

Таблица 4. ЛАЧХ

-1	0,1	9,17406	0,1	1,25893	9,20891	1,2	15,8489	-11,426
-0,9	0,12589	9,17482	0,2	1,58489	9,08243	1,3	19,9526	-13,614
-0,8	0,15849	9,17601	0,3	1,99526	8,70564	1,4	25,1189	-15,738
-0,7	0,19953	9,17788	0,4	2,51189	7,83066	1,5	31,6228	-17,818
-0,6	0,25119	9,18077	0,5	3,16228	6,23375	1,6	39,8107	-19,869
-0,5	0,31623	9,18519	0,6	3,98107	3,94960	1,7	50,1187	-21,902
-0,4	0,39811	9,19182	0,7	5,01187	1,26946	1,8	63,0957	-23,923
-0,3	0,50119	9,20135	0,8	6,30957	-1,5050	1,9	79,4328	-25,936
-0,2	0,63096	9,21400	0,9	7,94328	-4,1982	2	100	-27,944
-0,1	0,79433	9,22792	1	10	-6,7459	2,1	125,893	-29,950
0	1	9,23483	1,1	12,5893	-9,1470	2,2	158,489	-31,953

Строим график ЛАЧХ – рис. 4.

Рис. 4. ЛАЧХ

7. ФЧХ

ФЧХ – угол поворота вектора на комплексной плоскости в зависимости от частоты:

.

Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Размерность ФЧХ – радианы (рад).

Таблица 5. ФЧХ

-1	0,1	0,03263	0,1	1,25893	0,44997	1,2	15,8489	1,66382
-0,9	0,12589	0,04110	0,2	1,58489	0,58831	1,3	19,9526	1,64958
-0,8	0,15849	0,05177	0,3	1,99526	0,77030	1,4	25,1189	1,63592
-0,7	0,19953	0,06524	0,4	2,51189	0,99225	1,5	31,6228	1,62384
-0,6	0,25119	0,08227	0,5	3,16228	1,22480	1,6	39,8107	1,61359
-0,5	0,31623	0,10383	0,6	3,98107	1,42316	1,7	50,1187	1,60513
-0,4	0,39811	0,13123	0,7	5,01187	1,56064	1,8	63,0957	1,59824
-0,3	0,50119	0,16622	0,8	6,30957	1,63913	1,9	79,4328	1,59268
-0,2	0,63096	0,21126	0,9	7,94328	1,67427	2	100	1,58822
-0,1	0,79433	0,26981	1	10	1,68250	2,1	125,893	1,58466
0	1	0,34696	1,1	12,5893	1,67633	2,2	158,489	1,58182

Строим график ФЧХ – рис. 5.

Рис. 5. ФЧХ

8. Структурная схема системы

Записываем матричные уравнения системы:

;

.

Подставляем исходные данные:

;

.

Производим умножение матриц:

,

,

.

Получили систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6.

Рис. 6. Структурная схема системы

Часть 2:

Осуществить синтез замкнутой системы с собственными числами

{–1; –4; ± 5 j }.

Построить наблюдатель полного порядка.

Дано:

,

,

.

Решение:

1. Синтез замкнутой системы

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

,

.

Пусть управление линейно зависит от координат состояния системы:

,

где

– входной командный сигнал,

К – матрица коэффициентов обратной связи.

После замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7.

Рис. 7. Структура исходной системы

Движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением:

.

Таким образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК, её характеристическими числами.

Характеристический многочлен исходной системы равен:

.

Спектр характеристических чисел (корни характеристического многочлена):

.

Желаемый характеристический многочлен замкнутой системы по условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем собственное число (–1), тогда:

.

Пусть матрица коэффициентов обратной связи , тогда характеристический полином замкнутой системы:

.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов и :

,

,

,

.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

,

,

.

Искомое управление принимает вид:

.

Структура синтезированной системы представлена на рис. 8.

Она построена по уравнениям:

,

,

,

,

.

Рис. 8. Структура синтезированной системы

2. Построение наблюдателя полного порядка

Система

называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех оценка с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния .

Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления и найдём модель её изменения:

.

Затем потребуем, чтобы при всех и .

Это равенство возможно при:

,

.

Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида:

.

На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя.

Рис. 9. Структура системы с наблюдателем

Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу . Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки к вектору состояния при любых начальных состояниях наблюдателя и системы.

Пусть ошибка восстановления , тогда

.

Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы , которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости.

Пусть матрица

,

тогда матрица

.

Полюса наблюдателя определяются уравнением:

.

Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны:

{– 4; ± 5 j },

то расположим полюса наблюдателя в точках:

.

Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид:

,

что будет иметь место тогда, когда:

,

,

.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

;

;

.

Находим матрицу:

Модель асимптотического наблюдателя системы принимает вид:

,

,

,

.

Структура системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на рис. 10.

Она построена по уравнениям:

,

,

,

,

,

,

.