Реферат: по дисциплине «Математические методы системного анализа и теории принятия решений» Тема №11 :«Управление запасами при поставке с постоянной интенсивностью»

1. Введение.

Запасы представляют собой один из важнейших факторов обеспечения

постоянства и непрерывности воспроизводства. Непрерывность производства требует, чтобы постоянно находилось достаточное количество сырья и материалов, для полного удовлетворения потребностей производства в любой момент их использования. Поэтому необходимость бесперебойного снабжения производства в условиях непрерывности спроса и дискретности поставок, обуславливает создание на предприятиях материальных запасов. Несмотря на то, что сейчас идет тенденция ускорения оборачиваемости запасов на предприятие, а следовательно и снижение размеров запасов, вплоть до работы с колес, запасы по-прежнему занимают главную роль в обеспечении предприятия нормальными ритмичными условиями работы. Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном). Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствую избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени). При избыточном запасе требуется более высокие удельные (отнесённые к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает раже и частота размещения заказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастает. Для любого из указанных крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.

Проблемы управления запасами возникают на предприятии в самых различных ситуациях. Это могут быть запасы готовой продукции, производимой предприятием. Это могут быть запасы исходного сырья и материалов, инструментов и запчастей. На предприятии возникают и внутренние запасы полуфабрикатов, производимых данным предприятием и используемых здесь же. Все эти различные виды запасов, возникающие по разным причинам в различных многообразных ситуациях, объединяет общая проблематика. Как организовать процесс принятия управленческих решений таким образом, чтобы не возникало перебоев в снабжении товарами? Как при этом добиться минимизации издержек, связанных с запасами? Другими словами, как управлять запасами?

На рисунке представлена типичная картина динамики складских запасов, график изменения их объема во времени. Объем запасов постепенно убывает в соответствии со спросом. В некоторые моменты времени (на графике это моменты t1, t2, t3) на склад поступают поставки (объема V1, V2, V3). Размер поставки соответствует длине вертикального отрезка. Запас вырастает на величину поставки.

Поставка в момент t1 поступила, когда на складе еще оставались запасы. Поставка в момент t2 пришла в ситуации дефицита (запасы отрицательны, у склада имеется задолженность перед спросом, удовлетворяемая из пришедшей поставки). Поставка в момент t3 застала ситуацию, когда запасы как раз исчерпались.

Размеры поставок могут быть различными, сами поставки могут поступать на склад не регулярно.

Формируя стратегию управления запасами, мы, в общем случае, стремимся управлять дискретными поставками, стремясь приспособиться к неуправляемому, но прогнозируемому спросу.

Задачи управления запасами составляют один из наиболее распространенных классов задач исследования операций, решение которых имеет важное хозяйственное значение. Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов дает возможность высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что (в конечном счете) повышает эффективность используемых ресурсов. Существует большое количество разных моделей задач управления запасами (СУЗ).

2. Система управления запасами ее структура и элементы.

СУЗ – это совокупность баз сосредоточения запасов и обслуживающих организации подразделений, связанных между собой линиями связи и транспортными средствами.

Структура СУЗ – это совокупность взаимосвязей и отношений между элементами.

Элементами системы управления запасами являются:

• предметы запасов;

• система снабжения;

• спрос на предметы снабжения;

• возможность пополнения запасов;

• функции затрат;

• ограничения;

• принятая стратегия управления запасами.

Рассмотрим подробнее каждый из этих элементов.

Предметы запасов в зависимости от количества хранимых на складах номенклатур различают на однономенклатурные и многономенклатурные системы. Важной характеристикой предметов запаса является стабильность их свойств.

Системы снабжения бывают : по числу уровней различают децентрализованные (однокаскадные) и централизованные (многокаскадные)системы. По характеру взаимосвязи между уровнями различают системы с линейной и пирамидальной структурой. По характеру взаимосвязи на одном уровне различают системы с разрешенным и запрещенным обменом запасами. Управление системой снабжения может быть централизованным и децентрализованным.

Спрос на предметы снабжения делится на стационарный или нестационарный, детерминированный или случайный. Спрос характеризуется моментами времени, в которые он возникает и объемом.

Различают такие способы пополнения запасов : мгновенная поставка; поставка с задержкой на фиксированный временной интервал; поставка с задержкой на случайный интервал.

Функция затрат составляет в совокупности критерий эффективности избранной стратегии управления и учитывает (в общем случае) расходы на хранение, стоимость поставок, затраты на заказ каждой новой поставки, штрафы за дефицит.

Приведем возможные варианты этих составных частей.

Расходы на хранение бывают : пропорциональные среднему уровню положительного запаса за период времени его существования; пропорциональные остатку запаса к концу периода; нелинейная функция среднего уровня запасов и интервала существования положительного запаса.

Стоимость поставки бывает : пропорциональной объему поставки, постоянной, пропорциональной числу типов поставляемых запасов.

Штрафы вследствие дефицита бывают такие: пропорциональные средней положительной недостаче (дефициту) за период; пропорциональные положительной недостаче к концу периода; постоянные, нелинейные функции от среднего уровня дефицита и продолжительности его существования.

Ограничение в задачи управления запасами вводятся на: максимальный объем запасов; максимальный вес; максимальную стоимость запасов; число поставок в заданный интервал времени; на стоимость поставки; на объем поставки; на вероятность дефицита.

Стратегия управления запасами – это совокупность правил, в соответствии с которыми определяется момент подачи заказа и его объем. Определение стратегии управления запасами и ее параметров является основной задачей теории управления запасами. Она должна минимизировать выбранную функцию затрат - критерий эффективности.

3. Стратегии управления запасами.

Стратегия управления запасами – это последовательность решений, определяющих моменты поставок и их объемы. Таким образом, стратегия отвечает на два вопроса: Когда? и Сколько?

Качество стратегии управления запасами характеризуется издержками. Стратегия эффективна, когда издержки минимальны.

Издержки связаны с поставками и хранением запасов, а также с дефицитом.

Суммарные издержки подразделяются на постоянную и переменную составляющие.

Качество стратегии управления запасами характеризуется издержками. Стратегия эффективна, когда издержки минимальны.

По правилу определения момента заказа различают периодические стратегии и стратегии с критическим уровнем. Рассмотрим некоторые стратегии управления запасами.

1. Стратегия (Т,S) периодическая с постоянным объемом заказа. Само название указывает на главный параметр системы — объем заказа. Он строго зафиксирован и не изменяется ни при каких условиях. Для оптимизации размеров заказов применяются специальные методики и расчетные формулы (например, формула Уилсона).

2. Стратегия (Т,S) периодическая с пополнением до максимального уровня. Объем заказа определяется правилом S=y-y₀ (t).

3. Стратегия (у_кр ,S) заказ объема подается в момент контроля при снижении объема запаса ниже у_кр.;

4. Стратегия двух уровней (у_кр ,у) спрос определяет и момент подачи заказа, и его объем

( Т-период пополнения, S- объем заказа, у- максимальный уровень запаса на складе, у_{кр –} минимально допустимый уровень запаса на складе).

4. Преимущества и недостатки различных систем управления запасами.

Сравнение систем управления запасами.

Использование той или иной системы управления запасами зависит от следующих обстоятельств:

1. Если издержки управления запасами значительнее и их можно вычислить, то следует применять систему с фиксированным размером заказа.

2. Если издержки управления запасами незначительные, то более предпочтительной оказывается система с постоянным уровнем запасов.

3. При заказе товаров поставщик налагает ограничения на минимальный размер партии. В этом случае желательно использовать систему с фиксированным размером заказа, поскольку легче один раз скорректировать фиксированный размер партии, чем непрерывно регулировать его переменный заказ.

4. Однако, если налагаются ограничения, связанные с грузоподъемностью транспортных средств, то более предпочтительной является система с постоянным уровнем запасов.

5. Система с постоянным уровнем запасов более предпочтительна и в том случае, когда поставка товаров происходит в установленные сроки.

6. Система управления запасами с фиксированным размером заказа часто выбирается тогда, когда необходимо быстро реагировать на изменение сбыта.

5. Математический метод расчета оптимальных параметров стратегии управления запасами при детерминированном стационарном спросе при поставках с постоянной интенсивностью.

Поставка с постоянной интенсивностью характерна для заводского склада, когда продукция производится и с момента запуска ее в производство поступает на склад с постоянной интенсивностью µ>λ. Запуск производства вызывает фиксированные затраты с₀ на переналадку оборудования, которые не зависят от объема партии.

График изменения текущего объема запаса

	y0 (t)
y2	А
B t3
D
0	t1 t2	T2
yд	t
C

Период времени между поставками содержит четыре интервала;

[0,t₁ ] - интервал накопления запасов с интенсивностью (µ-λ), максимальный уровень запаса y₂ будет накоплен за время t₁ , то есть

y₂ =(µ-λ) t₁ ; t₁ = y₂ /(µ-λ);

[t₁ ,t₂ ] – интервал расходования запаса с интенсивностью λ, весь запас будет израсходован к моменту времени t₂ , то есть

y₂ =( t₂ - t₁ ) λ; t₂ = y₂ / λ + t₁ = y₂ µ/ λ(µ-λ) (5.1)

[t₂ ,t₃ ] – интервал накопления дефицита, за время (t₃ -t₂ ) будет накоплен максимальный дефицит

y_д =(t₃ -t₂ ) λ; t₃ =y_д / λ + t₂ (5.2)

[t₃ ,T₂ ] – интервал ликвидации дефицита с интенсивностью (µ-λ), дефицит будет ликвидирован за время T₂ - t₃ , то есть

y_д =(µ-λ), (T₂ - t₃ );

Подставляя в это уравнение t₃ из выражения (5.2) и t₂ из формулы (5.1), находим

y_д =λ/ µ (µ-λ)T₂ - у_2.

Затраты на хранение запасов в течение периода имеют место на интервале [0,t₁ ] и пропорциональны площади треугольника ОАВ, то есть

с_и =с₁ (y₂ t₂ )/2=(c₁ µ y₂ ² )/ λ2(µ-λ).

На интервале [t₂ ,T₂ ] склад выплачивает штраф, размер которого пропорционален площади треугольника BCD, то есть

c_д = y_д (T₂ -t₂ )/2=c₂ µ /2 λ(µ-λ) [λ (µ-λ) T₂ / µ - y₂ ]^2.

Функция затрат в единицу времени

С_Т2 =с₀ /Т₂ +с₁ µ y₂ ² / 2 λ Т₂ (µ-λ) + [λ (µ-λ) T₂ / µ - y₂ ]² C₂ µ / 2 λ Т₂ (µ-λ)

Приравнивая производные этой функции по и нулю и решая полученную систему уравнений, находим

T₂ ^* =&2c₀ /c₁ λ&(c₁ +c₂ )/c₂ & µ/ (µ-λ); у₂ ^* =&2c₀ λ /c₁ &c₂ /(c₁ +c₂ ) &(µ-λ)/ µ ;

С_Т2 ^* =&2c₀ λc₁ &c₂ /(c₁ +c₂ ) &(µ-λ)/ µ (5.3)

Если возникновение дефицита не допускается, то

с₂ >> с1&(c₁ +c₂ )/c₂ »1 и параметры стратегии управления запасами

T₂ ^* =&2c₀ /c₁ λ & µ/ (µ-λ); у₂ ^* =&2c₀ λ /c₁ &(µ-λ)/ µ ;С_Т2 ^* =&2c₀ λc₁ &(µ-λ)/ µ (5.4)

При поставке с постоянной интенсивностью максимальный объем запаса, минимальное значение функции затрат и частота заказов уменьшаются в &(µ-λ)/ µ раз. Если µ>>λ, то &(µ-λ)/ µ »1 и из формул (5.3) получим

T₂ ^* =&2c₀ /c₁ λ &(c₁ +c₂ )/c₂ ; у₂ ^* =&2c₀ λ /c₁ &(c₁ +c₂ )/c₂ ;С_Т2 ^* =&2c₀ λc₁ &(c₁ +c₂ )/c₂

А из (5.4)

T₂ ^* =&2c₀ /c₁ λ ; у₂ ^* =&2c₀ λ /c₁ ; С_Т2 ^* =&2c₀ λc₁ . (5.5)

Формулы (5.5) известны как формулы Уилсона (Wilson).

6. Практическое применение математического метода расчета оптимальных параметров стратегии управления запасами при детерминированном стационарном спросе и поставках с постоянной интенсивностью.

Пример №1

Завод имеет устойчивый спрос на 50 единиц некоего товара в месяц. Стоимость приобретения единицы товара составляет 6000 руб, а затраты на его хранение составляют 20% от его стоимости в год. Стоимость размещения одного заказа составляет 10000 руб в виде административных расходов независимо от заказанного количества. Имея эту информацию, можно рассчитать все значимые затраты и попытаться определить оптимальный размер заказа на данный товар. Рассмотрим все затраты, связанные с этим товаром на протяжении года, при условии определенного размера заказа. Например, если 25 единиц товара заказывается в каждой партии, то затраты будут следующими:

Затраты на приобретение = Количество товара, приобретенного за год * Стоимость единицы товара. Итак заводу необходимо 50 единиц товара в месяц, то есть 600 единиц товара в год. Стоимость единицы товара составляет 6000руб. Следовательно, затраты на приобретение: 600*6000руб. = 3600000руб.

Расходы на хранение запасов = Стоимость хранения в процентах от стоимости приобретения в год * Средняя стоимость запасов. Стоимость хранения в процентах от стоимости приобретения составляет 20%. Средний уровень составляет половину размера заказа. Таким образом, средний уровень запасов: 25/2 = 12,5. Отсюда средняя стоимость запасов: 12,5 * 6000руб. = 75000 руб. Следовательно, расходы на хранение: 0,2 * 75000 = 15000руб.

Расходы на подготовку заказа = Количество заказов в год * Расходы на подготовку одного заказа.

Итак, ежегодная потребность составляет 600 единиц, а размер заказа - 25 единиц. Таким образом, количество заказов в год равно 600/25 = 24. Стоимость подготовки одного заказа составляет 10000руб. Отсюда расходы на подготовку заказа: 24 *10000руб. = 240000руб. Отсюда получаем общую сумму затрат завода:

Общие затраты = Стоимость приобретения + Расходы на хранение + Расходы на подготовку заказа = 3600000+15000+240000.

Общие затраты равны: 3855000руб. при размере заказа в 25 единиц товара. А теперь попробуем найти тот размер заказа, который минимизирует общие затраты завода. Те вычисления, которые проделали выше можно сделать по другому значению размера заказа, а затем сравнить полученные результаты. Далее в таблице сведены эти вычисления по ряду значений размера заказа Q. D - обозначает годовой спрос, P - стоимость единицы товара (6000руб.) и коэффициент затратности хранения запасов (0,2).

Затраты на приобретение остаются неизменными при всех значениях размера заказа (Q). Это происходит потому, что спрос не меняется, и следовательно, независимо от размера заказа за указанный период необходимо приобрести определенное количество единиц товара. При условии отсутствия скидок на крупные заказы годовые затраты на приобретение также должны оставаться неизменными. Следовательно, для того чтобы определить оптимальный размер заказа, необходимо только сравнить затраты связанные с хранением и подготовкой. Эти затраты нанесены на график, «Стоимость запасов в зависимости от размера заказа».

График «Стоимость запасов в зависимости от размера заказа»

На нем видно, что две затратные переменные изменяются в зависимости от размера заказа. По мере увеличения размера заказа расходы на хранение растут в прямой пропорции. Это как раз тот случай, когда чем больше размер заказа, тем больше уровень запасов, а по нашей модели расходы на хранение находятся в прямой зависимости от этой величины. И наоборот, расходы на подготовку заказа уменьшаются по мере увеличения размера заказа. Понятно, что чем больше единиц товара, тем меньше заказов необходимо сделать за указанный период. Итак, расходы, связанные с подготовкой и отсылкой заказов, снижаются при увеличении размера заказа.

Минимальное значение общих затрат находятся в точке пересечения графиков расходов на подготовку заказа, как это показано на графике «Стоимость запасов в зависимости от размера заказа» . Это значение соответствует оптимальному размеру заказа, который в нашем примере оказался равен 100.

Стоимость запасов в зависимости от размера заказа

Итак, проведенный анализ позволяет рекомендовать включать в заказ 100 единиц товара. Так как потребность в товаре составляет 50 единиц в месяц, то будет достаточно размещать один заказ в два месяца. Периодичность размещения заказов в определенный отрезок времени можно рассчитать с помощью выражения D/Q. В нашем примере D = годовая потребность = 600, и оптимальный размер заказа составляет 100 единиц товара; Q = размер заказа = 100.

Следовательно, периодичность размещения заказов равна 600/100 = 6 заказов в год (или один заказ каждые два месяца).

Значение оптимального размера заказа, можно рассчитать по математической формуле. Эта формула основывается на нахождении минимального значения исходя из общих затрат. Мы будем пользоваться следующими обозначениями: λ - постоянный спрос в определенный период времени равный 50ед.в мес.х12 мес=600ед.в год ; P - цена приобретения единицы товара; с₀ - расходы на подготовку одного заказа равные 10000руб; с₁ - расходы на хранение единицы товара за указанный период времени равные 0,2х6000=1200. Имея эти переменные, рассчитываем значение оптимального размера заказа по следующей формуле:

Оптимальный размер = у₂ ^* =&2c₀ λ /c₁ = &2х10000х600/1200= 100 ед.

Формула оптимального размера заказа дает такой же результат, что и графический метод. Полученный результат как раз говорит о том, что для минимизации затрат размер заказа должен составить 100 единиц, при этом периодичность размещения заказов должна быть равна 600/100 = 6 раз в год.

Пример № 2

На некотором станке производятся детали в количестве 2000 штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 500 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 50 коп. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а стоимость на подготовку производства составляет 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой следует запускать производство этих партий?

Решение:

На первом станке производится партия деталей с интенсивностью µ деталей в единицу времени, которые используются на втором станке с интенсивностью λ [дет./ед.t].

Схема производственного процесса

Входные параметры модели планирования экономичного размера партии

1) µ – интенсивность производства продукции первым станком;

2) λ – интенсивность потребления запаса;

3) с₁ – затраты на хранение запаса;

4) с₀ – затраты на осуществление заказа, включающие подготовку (переналадку) первого станка для производства продукции, потребляемой на втором станке;

Выходные параметры модели планирования экономичного размера партии

1) у2 – размер заказа;

2) С – общие затраты на управление запасами в единицу времени;

3) Т– период запуска в производство партии заказа, т.е. время между включениями в работу первого станка;

Изменение уровня запасов происходит следующим образом :

y
размер
партии
макс.уровень
заказа
µ
λ	λ
µ-λ	µ-λ
t1	t2	T	t
производство	использование
и
использование

• в течение времени t₁ работают оба станка, т.е. продукция производится и потребляется одновременно, вследствие чего запаса накапливается с интенсивностью .

• в течение времени t₂ работает только второй станок, потребляя накопившийся запас с интенсивностью .

Продукция поступает на склад, хранится там и уходит со склада в соответствии со спросом. В данном случае все полностью прогнозируемо, интенсивность спроса известна и постоянна. Обозначим ее посредством λ . Таким образом, в единицу времени со склада уходит λ единиц продукции.

Запас на складе пополняется периодически и одинаковыми партиями. Пусть T –период времени между поставками (длина цикла), у – размер партии. Дефицит (неудовлетворенный спрос) здесь рассматривается как явление недопустимое.

Слишком ранний приход поставки, когда запас еще имеется, не выгоден, поскольку приходится хранить лишний запас (и раньше времени оплачивать поставку материалов).

Воспользуемся формулой Уилсона для определения минимальных затрат на пополнение и хранение запасов:

С_Т2 ^* =&2c₀ λc₁ = &2х1000х0,5х6000 = 2449,49 руб. в год

Так же по формулам Уилсона рассчитаем размер партии деталей, производимых на первом станке и частоту запуска в производство этих партий:

T₂ ^* =&2c₀ /c₁ λ = &2х1000/0,5х6000=&6000/3000=0,81 года=9,72 месяцев;

у₂ ^* =&2c₀ λ /c₁ =& 2х1000х6000/0,5 = 4898,97 = 4899 шт ;

Полученный результат говорит о том, что для минимизации затрат размер партии деталей, производимых на первом станке должен составить 4899шт, при этом периодичность запуска в производство этих партий должна быть равна 9,75 месяцев.

7. Заключение

Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов дает возможность высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что (в конечном счете) повышает эффективность используемых ресурсов.

В данном реферате была рассмотрена структура и элементы системы управления запасами . Выявлены преимущества и недостатки различных стратегий управления запасами. Более подробно рассмотрен математический метод расчета оптимальных параметров стратегии управления запасами при детерминированном стационарном спросе при поставках с постоянной интенсивностью и рассчитано два примера, основываясь на данном методе.

Известные стратегии управления запасами редко точно описывают реальную систему. В ряде сложных случаев приходится прибегать к методам имитационного моделирования системы, чтобы получить достаточно надежное решение.

В большинстве моделей управление запасами осуществляется оптимизацией функции затрат, включающей затраты на оформление заказов, закупку и хранение продукции, а также потери от дефицита. Потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить т. к. они могут быть обусловлены такими нематериальными факторами, как, например, ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи расходов существенно усложняет математическое описание задачи.

8.Список литературы.