Реферат: Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 5 сентября 2000 г.

Тема: Введение

Условные обозначения:

: - так, что def – по определению

 – включает ’’’ – [dⁿf(x)]/dxⁿ=(d/dx)([d^n-1f(x)]/dxⁿ)

 - следует, выполняется

 - тогда и только тогда

 - любой

 - существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

Все R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной).

Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом.

x

0 – отвечает за ноль.

Отрезок [0;1] отвечает за единицу

Единица за единицу.

Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R.

Основные числовые множества.

x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] ab

Частный случай отрезка точка

Или axb – в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой.

a b

Обозначается (a;b) или в виде неравенства a

x

Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Обозначается: [a;b) axb

(a;b] ab

Всё это числовые промежутки.

Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом .

x

///////////////] x (-;b] или -b

b

x

///////////////) x (-;b) или -

b

Вся числовая прямая – R=(-;+)

Окрестности.

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-ε x-a  (////////) x  О_ε(а)

ε>0 а-ε а а+ε

О_ε(а)={xR:x-a<ε}

Проколотая ε окрестность – О^_ε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

О^_ε(а)={xR:0<x-a<ε}

(////////) x

а-ε а а+ε

Правая ε поло окрестность точки а: О⁺_ε(а)={xR:ax

 ///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε поло окрестность точки а: О^_ε(а)={xR:aа.

Левая ε поло окрестность точки а: O^-_ε(a)={xR:a-εa}

(//////// x

a-ε a

Проколотая, левая ε поло окрестность точки а: О^-_ε(а)={xR:a-εа.

Модуль и основные неравенства.

x; x>0

х= 0; x=0

-x; x<0

|x| -hh x>h

h>0 x<-h

1.  а,b  R: |ab|a|+|b|

2.  а,b  R: |a-b|||a|-|b||

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

О_ε(+)={xR:x>ε} (////////// x

ε>0 ε

О_ε(-)={xR:x<-ε} ///////////)  x

ε>0 -ε 0

О_ε()={xR:x>ε} \\\\\\) _ (////// x

x>ε;x<-ε -ε ε

Функция. Монотонность. Ограниченность.

х – называется независимой переменной.

у – зависимой.

Функцию можно задавать равенством (у=х²)

Таблицей

Х	Х1	Х2	Х3	Х4
У	У1	У2	У3	У4

Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости:

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

1. Возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)2)

2. Убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)>f(x₂)

3) Не убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

4. Не возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR

2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах

3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС

Лекция №2

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 12 сентября 2000 г.

Тема: Функции

Определение (сложная функция):

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

Пример: Пример

z=sin e^x w=arctgcos e^{xx-ln x}

y=e^x=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R₊

G=[-1;1]

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)),  yE y=f(g(y)), для любого уЕ



x=g(f(x)),  xD x=g(f(x)), для любого хD

Примеры:

1)y=x³  x=³y

D=R

E=R

2)y=x²  x=y

D=R₊ {0}=[0;+)

E=[0;+)

D=R_- {0}=(-;0]

E=[0;) x=-y

3)y=sinx

D=[-/2;/2]

E=[-1;1]

x=arcsiny

y[-1;1]; x[-/2;/2]

Пусть y=f(x)

D=[a;b]

E=[A;B]

Определение: y=f(x), nN

a₁=f(1)

a₂=f(2)

a_n=f(n)

{a_n} – множество значений силовой последовательности nN или а_n

{а_n}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}

а_n=1/n

{а_n}={sin1;sin2;sinn}

а_n=sinn

а_n=(-1)ⁿ/n

{(-1)ⁿ}={-1;1;-1;1;-1;1…}

Ограниченные последовательности.

1. Ограниченная сверху, то есть существует В так что а_nВ, для любого nN

2. Ограниченная снизу, то есть существует А так что Аb_n, для любого nN

3. Ограниченная, то есть существует А,В так что Аа_nВ, для любого nN  существует С>0 так что а_nС, для любого nN.

Монотонные последовательности

1. возрастающая a_nn₊₁,  nN

2. убывающая a_n>a_n+1,  nN

3. не возрастающая a_na_n+1,  nN

4. не убывающая a_na_n+1,  nN

Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности а_n, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел nN выполняется модуль разности a_n-a<ε   ε>0  N :  nN a_n-a<ε.

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.

Lim a_n=0

^n

Примеры: Доказать, что ln(-1)²/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы (-1)ⁿ-0<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε  n>1/ε

N=[1/ε]+1

ε=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|a_n|<0.01, если n101

* * *

a_n=1-1/n²

lim(1-1/n²)=1

^n+

Для любого ε>0 (1-1/n²)-1<ε

-1/n²<ε  1/n²<ε  n²>1/ε  n>1/ε

N=[1/ε]+1

Лекция №3

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 13 сентября 2000 г.

Тема: Последовательности

Бесконечно малые последовательности

Последовательность а_n называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

a_n – бесконечно малая  lim a_n=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется

^n+

a_n<ε

Важные примеры бесконечно малой последовательности:

1)_n=1/n Докажем, что для любого ε>0 1/n<ε  1/n<ε n>1/ε N[1/ε]+1

Докажем, что lim1/n=0

^n+

2) _n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 sin(1/n)<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)<ε

Следовательно 1/n n>1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0

^n+

3) _n=ln(1+1/n)

n0; 1/n; 1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

^n+

Докажем ln(1+1/n)<ε ln(1+1/n)<ε  1+1/nε

1/nε-1

n>1/e^ε-1 N=[1/e^ε-1]+1

5. _n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

^n+

Докажем ε>0 1-cos(1/n)<ε

1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0 1-cos(1/n)<ε

cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1)

1/n n>1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

_n_nбесконечно малое  _n+_n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

_n- бесконечно малое  ε>0  N₁:_n>N₁  _n<ε

_n- бесконечно малое  ε>0  N₂:_n>N₂  _n<ε

Положим N=max{N₁,N₂}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства:

_n<ε _n+_n_n+_n<ε+ε=2ε=ε₁n>N

_n<ε

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁/2. Тогда для любого ε₁>0 N=maxN₁N₂ :  n>N  _n+_n<ε₁  lim(_n+_n)=0, то

^n

есть _n+_n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

_n,_n – бесконечно малое  _n_n – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁, так как _n и _n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N₁:  n>N  _n<ε

N₂:  n>N₂  _n<ε

Возьмем N=max {N₁;N₂}, тогда n>N = _n<ε

_n<ε

_n_n=_n_n<ε²=ε₁

 ε₁>0 N:n>N _n_n<ε²=ε₁

lim _n_n=0  _n_n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

^n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

а_n – ограниченная последовательность

_n –бесконечно малая последовательность  a_n_n – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как а_n – ограниченная  С>0: nN  a_nC

Зададим ε₁>0; положим ε=ε₁/C; так как _n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N _n<ε a_n_n=a_n_nε₁/C=ε₁

ε₁>0 N: n>N  a_n_n=Cε=ε₁  lim a_n_n=0 a_n_n – бесконечно малое

^n

Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const  произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

lim a_n=a  a_n=a+_n

^n+

Последовательность a_n имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде a_n=a+_n

где _n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim a_n   ε>0 N:n>N  a_n-a<ε. Положим a_n-a=_n  _n<ε, n>N, то есть _n - бесконечно малая

^n+

a_n=a+_n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть a_n=a+_n, _n – бесконечно малая, то есть _n=a_n-a  ε>0 N: n>N 

_n=a_n-a<ε, то есть lim a_n-а

^n+

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

1. Теорема о пределе суммы:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b  lim a_n+_n=a+b

^{n+ n+ n+}

Докозательство: a_n=a+_n b_n=b+_n Сложим a_n+b_n=a+b+_n+_n=a+b+_n lim a_n+b_n=a+b

^n+

2) Теорема о произведение пределов:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b  lim a_nb_n=ab

^{n+ n+ n+}

Доказательство: a_n=a+_n b_n=b+_n  a_nb_n=(a+_n)(b+_n) a_nb_n=ab+a_n+b_n+_n_n=ab+_n lim a_nb_n=ab что и

^n+

требовалось доказать.

2. Теорема о пределе частного

Пусть lim a_n=a lim b_n=b b0 lim a_n/b_n=a/b

^{n+ n+ n+}

Доказательство: a_n=a+_n b_n=b+_n так как b0, то N₁: n>N₁b_n0

_bn

₀^{ (////////}_b^{/////////)} x

a_n/b_n=a_n/b_n-a/b+a/b=a/b+(ba_n-ab_n)/bb_n=a/b+[b(a+_n)-a(b+_n)]/b(b+_n)=a/b+_n/b(1+b_n/b)

lim a_n/b_n=a/b

^n+

Лекция №4

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности .

а_n=(-1)ⁿ – не имеет предел.

{b_n}={1,1…}

{a_n}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

Бесконечно большие последовательности.

a_n=2ⁿ

N:n>N  a_n>ε

b_n=(-1)ⁿ2ⁿ

N:n>N  b_n>ε

c_n=-2ⁿ

N:n>N c_n<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim a_n=+, если ε>0N:n>N  a_n>ε где ε- сколь угодно малое.

^n

2)lim a_n=-, если ε>0 N:n>N  a_n<-ε

^n+

3) lim a_n=  ε>0 N:n>N  a_n>ε

^n+

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

a_n=2ⁿ

Берём ε>0; хотим 2ⁿ>ε

n>log₂ε

N=[log₂ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки  и , а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim a_n=a< aR ε>0 NN:n>N  a_n-a<ε

^n

Обратное утверждение aR ε>0 NN: n>N  a_n-a<ε

Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

b_n{2;0;2ⁿ;0;2³;0….}

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть lim a_n=a<  a_n - ограниченная

^n+

Доказательство:

Дано:

ε>0N:n>N  a_n-a<ε

Раз ε>0 возьмем ε=1  N:n>N  a_n-a<1

a-1nn>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N₁=max{a₁;a₂;…a_n;1+a;a-1}

a_nc, n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если lim a_n=a <, то а- единственное.

^n+

Доказательство:(от противного)

Предположим, что  b: lim a_n=b и ba ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N₁:n>N₁ a_n-a<ε

^n+

N₂:n>N₂  a_n-b<ε N=max{N₁;N₂}, тогда оба неравенства выполняются одновременно 

 -(b-a)/2n-a<(b-a)/2

-(b-a)/2n-b<(b-a)/2

a_n-a<(b-a)/2

-

a_n-b>-(b-a)/2

b-a

0<0 – противоречие  предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)a_n- бесконечно большая  1/a_n – бесконечно малая

2)_т – бесконечно малая, _n0 (n>N₀) 1/_n – бесконечно большая

Доказательство:

1)a_n- бесконечно большая  lim a_n=  для достаточно больших номеров n a_n0. Зададим любое сколько

^n+

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε N₁:n>N₁ a_n>ε, то есть a_n>1/ε N=max{N₁;N₀}

Тогда n>N  1/a_n<ε, то есть lim 1/a_n=0, то есть 1/a_n – бесконечно малое

^n+

2)_n – бесконечно малое lim _n=0

^n+

Дано: _n0, n>N₀ зададим ε>0 положим ε=1/ε>0

N₁:n>N₁ _n<ε=1/ε

N=max{N₀;N₁}: n>N  1/_n=, то есть 1/_n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть a_n- ограниченная и моннатонна. Тогда  lim a_n=а<

^n+

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 25 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема:

lim(1-1/n)ⁿ=1/e e=2,7183

^n+

0a_n=1-1/n1 nN, то есть a_n=(1-1/n)ⁿ- ограниченна.

ⁿ⁺¹a_n=ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ1=ⁿ⁺¹(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ<1-1>

(1-1/n)ⁿ<(1-1/n+1)ⁿ⁺¹

a_nn₊₁ nN  последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)ⁿ – имеет конечный предел

lim(1-1/n)ⁿ=1/e

^n+

Следствие

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

lim1/(1+1/n)ⁿ=(n/n+1)ⁿ=[1-1/(n+1)]ⁿ⁺¹/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

^n+

lim[1/(1+1/n)ⁿ]=1/e

^n+

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

Определение под последовательности

Пусть дана a_n зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n₁23<…k<….

a_n1,a_n2,…,a_nk,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

a_n=(-1)ⁿ

{a_n}={-1;1;-1;1….}

n₁=2;n₂=4,….,n_k=2k

{a_nk}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность a_n сходится, тогда последовательности

 lim a_n=a {a_nk} – гас и lim

^n+

lim a_nk=0

^n+

Доказательство так как a_n – сходиться, то ε>0 N: n>N  a_n-a<ε

a_nk; n_k>N то есть a_nk-a<ε

Пример

a_n=(-1)ⁿ – не имеет предела

{a_2n}={1,…,1,…,}

{a_2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O(x₀). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при хх₀ если ε>0  >0

x:0<x-x₀< f(x)-b<ε

lim f(x)=b

^xx_

Через окрестности это определение записывается следующим образом

ε>0 >0 x0_(x₀)f(x)0_ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при xx₀.

^xx_

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу  а.

f(x)=x-1

1.x1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x1

^x1

2.x2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x2

^x1

Пример

f(x)=2x+1 x1

Докажем lim(2x+1)=3

^x1

ε>0 >0 x:0<x-1< (2x+1)-3<ε

(2x+1)-3<ε

|x-1<ε/2

x1

Положим =ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)(x);(x) – бесконечно малое xx₀  (x)+(x) – бесконечно малое при xx₀

2)(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

3)Если f(x) – ограниченна в O(x₀) и (x) – бесконечно малое при xx₀, то f(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

Доказательство (3)

Так как f(x) – ограниченна в O(x₀), то  С>0: xO(x₀)|f(x)C;

Так как (x) – бесконечно малое при хх₀, то ε>0 >0 x: 0<x-x₀<  (x)<ε ε₁>0

Положим ε=ε₁/c

>0 x: 0<x-x₀|< f(x)(x)=f(x)a(x)1 lim f(x)(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при xx₀

^xx_

Лекция №6

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 26 сентября 2000 г.

Тема: Замечательные пределы

Теорема

f(x)>g(x) в O(x₀) и  lim (f(x))=b и  lim (g(x))=c. Тогда bc

^xx_ ^xx_

Доказательство:

Рассмотрим функцию (x)=f(x)-g(x)>0 в O(x₀)  lim ((x))= lim (f(x)) - lim (g(x))= b-c и в силу предыдущей

^xx_ ^xx_ ^xx_

теоремы b-c0, то есть b0 что и требовалось доказать.

Теорема

f(x)(x)g(x)  xO(x₀) и  lim (f(x))=b и  lim (g (x))=b.  lim ( (x))=b

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство:

f(x)=b+(x)

g(x)=b+(x)

где (x) и (x) – бесконечно малые при хх₀

b+(x)(x)b+(x)

Так как (х) и (х) – бесконечно малые то ε>0 ₁>0:  xO_1(x₀)  (x)<ε

₂>0:  xO_2(x₀)  (x)<ε

Положим =min{₁;₂}

Тогда  xO_(x₀)  (x)<ε

(x)<ε

-ε<(x)<ε

-ε<(x)<ε

b-ε(x)(x)b+(x)

-ε<(x)-b<ε

(x)-b<ε  xO_(x₀)

 ε>0  =min{₁;₂}  (x)-b<ε xO_(x₀) то есть lim ( (x))=b

^xx_

Первый замечательные пределы.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x0

Доказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMNсек_OMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1>

sin(x)

1

lim (1-cos(1/n))=0

^n+

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

^{x0 x0}

lim (x/sin(x))=0

^x0

x>0

lim (x/sin(x))=1

^x0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^{x0 x0}

Определение бесконечного предела и пределов при х+.

lim (f (x))=+  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(+)

^xx_

(x): 0<x-x₀<

(////////// x

ε

lim (f (x))=-  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(-)

^xx_

(x): 0<x-x₀<

lim (f (x))=  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε()

^xx_

f(x)>ε

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO_∆(+)f(x)O_ε(b)

^x+

 x: x>∆ f(x)-b <ε

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO_∆(-)f(x)O_ε(b)

^x-

 x: x<-∆ f(x)-b <ε

Односторонние пределы.

Определение

f(x) определена в O⁺(x₀)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO⁺_(x₀)f(x)O_ε(b) x₀0+

^xx_⁺⁰

Определение

f(x) определена в O^-(x₀)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO^-_(x₀)f(x)O_ε(b) x₀-0

^xx_^-0

Теорема Пусть f(x) определена в O(x₀) Для того чтобы существо-

вал предел  lim(f(x))=b   lim(f(x))=lim(f(x))=b

^xx_ ^xx_^{+0 xx}_^-0

Пусть  lim(f(x))=b, то есть ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(b) f(x)O_(b) для  xO⁺_(x₀) и для  xO^-_

^xx_

 xO^-_(x₀) lim(f(x));lim(f(x))=b что и требовалось доказать.

^xx_^{+0 xx}_^-0

Второй замечательный предел.

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx

[1+1/(n+1)]ⁿ(1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)](1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ(1+1/n)  lim(1+1/x)^x=e

^x+

Лекция №7

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 3 октября 2000 г.

Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Определение.

Пусть (x) и (x) – бесконечно малые при хх₀ ()

1. (x) ~ (x) при хх₀ () если lim (x)/(x)=1 ^{xx0 ()}

2. (x) и (x) одинакового порядка при хх₀ () если lim (x)/(x)=с0 ^{xx0 ()}

3. (x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x) при хх₀ () если lim (x)/(x)=0 ^{xx0 ()}

Определение.

Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при хх₀ ()

1) f(x) ~ g(x) при хх₀ () если lim f(x)/g(x)=1 ^{xx0 ()}

2)f (x) и g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при хх₀ () если limf(x)/g(x)=с ^{xx0 ()} <

В частности, если с=1, то они эквивалентны

1. f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x) при хх₀ () если lim f (x)/g (x)=0 ^{xx0 ()}

Примеры:

1. sin(x) – бесконечно малое

x при хх₀ – бесконечно малое

Сравним их lim sin(x)/x=1  sin(x)~x

^x0

при х0

2. 1n(1+x) – бесконечно малое

х при х0 – бесконечно малое

Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)^1/x =1 

^{x0 x0}

ln(1+x) ~ x, при х0

3. x² – бесконечно большие

2х²+1, при х+ – бесконечно большие

Сравним lim x²/(2x²+1) = lim x²/x²(2+1/x²)=1/2

^{x+ x+}

то есть функция является бесконечно большой и

одинакового порядка. Замечание: если одну из

функций одинакового порядка роста домножить на

одинаковую const, то они станут эквивалентны.

Определение:

1. пусть (х)=о(х) – бесконечно малое при хх₀(). То мы говорим, что (х) и (х) при хх₀ (), если (х)=(х)(х), бесконечно малое при хх₀ (). Другими словами - (х) – бесконечно малое более высокого порядка, чем (х) така как (х)/(х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim (x)/(x)=0 ^{x0 ()}

2. пусть f(х)=оg(х) – бесконечно большое при хх₀(). То мы говорим, что f(х) и g (х) при хх₀ (), если f (х)=(х)g (х). Другими словами - f (х) – бесконечно большое более низкого порядка, чем g(х) так как f(х)/g (х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim f (x)/g (x)=0 ^{x0 ()}

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

xⁿ=o(x^m), 0+. Из двух степенных бесконечностей сильнее та, у которой показатель степени больше.

Докажем:

xⁿ=x^m(xⁿ/x^m)=x^m(1/x^(m-n))=x^m(x) m-n>0 x^m(x)o(x^m)

Показательные бесконечности.

а^х=о(b^х), 1+. Из двух показательных бесконечностей сильнее та, у которой основание больше.

Докажам

a^x=a^x(b^x/b^x)=a^x(a/b)^x=b^x(xo(b^x) (0

Логарифмическая бесконечность

(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №1¹  x₀(a,b):(x₀), то естьf(x₀)-C=0 f(x₀)=c

(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить

[c,d][A,B]

[c,d)E(f)

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.

Производная функции. ∆Х

Пусть y=f(x) определена в O(x₀)

∆x=x-x₀ – называется приращением аргумента в т х₀ Х

^Х_ ^Х

Разность значений функций.

∆y=∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀) – называется приращением функции в точки х₀. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x0}

lim[f(x)-f(x₀)]=lim[f(x)-f(x₀)]0 lim[f(x)]=f(x₀)]

^x-x_^{0 xx}_ ^xx_

Определение непрерывной функции в точки приращения:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x0}

Определение: (производной функции)

Пусть y=f(x) определена в О(х₀) и  lim[∆y/∆x]<, тогда этот предел называется производной функции f(x) в

^∆х0

точке х₀.

Обозначения:

f’(x₀), y’(x₀), dy/dx, df(x₀)/dx=df(x)/d(x)

То есть f’(x₀) по определению = lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)lim∆y/∆xdy/dx

^{∆x0 ∆x0}

Физический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:

S

x

x₀ x

t₀ t

s(t)x(t); ∆s=∆x(t)=x(t)-x(t₀)

∆s/∆t=[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_cp. Если ∆t0

тогда v_cpv_мнг

lim ∆s/∆t=lim[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_мнг

^{∆t0 tt}_

Геометрический смысл производной.

y’(x₀)=lim∆y/∆x – производная функции у(х) и в точке х₀.

^∆х0

∆y=y(x₀+∆x)-y(x₀)

y’(x₀)=tg_кас где _кас – угол наклона в точке (х₀;y(x₀)) к оси

Основные теоремы о производной.

Теорема: Пусть  f’(x) и g’(x), тогда  [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)

Доказательство: следует непосредственно из определения производной и свойств предела суммы.

Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)

Пусть  f’(x) функция f(x) – непрерывна.

Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х₀) и lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f’(x₀)< [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f(x₀)+(x-x₀)²

^∆xx_

[f(x)-f(x₀)]=f’(x₀)(x-x₀)+(x-x₀)(x-x₀) при хх₀

lin[f(x)-f(x₀)]=limf’(x₀)(x-x₀)+lim(x-x₀)(x-x₀)=0+0=0linf(x)=f(x₀) то есть f(x) непрерывна в точки х₀

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х₀ не следует существование функции в этой точки.

y=х

Непрерывна в точки х₀=0

limx, x0

^x+0

lim|x|= =0

lim(-x), x<0

^x-0

y(0)=0

limy(x)=limy(x)=y(0)=0   limy(x)=y(0)=0  функция непрерывна

^{x+0 x-0 x0}

lim∆y/∆x-не существует, действительно х+0y(x)=x

^x0

lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1

^{x+0 x+0}

x-0y(x)=-x

lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1 то есть lim∆y/∆x – не существует

^{x-0 x-0 х0}

Теорема: Пусть  u’(x) и v’(x), тогда (uv)’=u’v+v’u

Доказательство: Зададим приращение ∆х в точки х. Рассмотрим: lim[∆(uv)]/∆x=

^∆x0

lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][ u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=

^{∆x0 ∆x0}

lim[(v(x+∆x))(u(x+∆x)-u(x))]/∆x+lim[(u(x))(v(x+∆x)-v(x))]/∆x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)

^{∆x0 ∆x0}

Теорема: (о произведение частного)

Пусть  u’(x) и v’(x), v’(x)0 в О(х), тогда (u/v)’=[u’v-v’u]/v²

Доказательство: (u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u]. Функция u(x) и v(x) –непрерывны в точки х₀.

lim[∆(1/v)/∆x]=lim[1/∆x][1/(v(x+∆x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-∆x)]/[∆xv(x)x(x+∆x)]]-[v’(x)/v²(x)]

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v²=[u’v-uv’]/v² что и требовалось доказать

Таблица производных

y=sinx

(sinx)’=lim[sin(x+∆x)-sinx]/∆x=lim[2sin(∆x/2)cos((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[2(∆x/2)cos(x+(∆x/2))]/∆x=cosx

^{∆x0 ∆x0}

(sinx)’=cosx

где sin(x)

(sin(x))’=cos(x)

y=cos(x)

(cos(x))’=lim[cos(x+∆x)-cos(x)]/∆x=lim[-2sin(∆x/2)sin((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[-2(∆x/2)sin(x+(∆x/2))]/∆x=-sinx

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(cos(x))’=-sinx

где cosx

(cos(x))’=-sin(x)

y=tg(x)

(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos²x=[cos²x+sin²x]/cos²x=1/cos²x

(tg(x))’=1/cos²x

где tg(x)

(tg(x))’=1/cos²x

Лекция №11

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 24 октября 2000 г.

Тема: «Производные, дифференциал»

y=xⁿ

y’(x)=lim[(x+∆x)ⁿ-xⁿ]/∆x=¹=lim[xⁿ(1+(∆x/x))-1]/∆x=/∆x/x0,∆x0\=lim[xⁿ(∆x/x)n]/∆x=nx^n-1

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(xⁿ)’=nx^n-1

^{y=x^3}

_y’=3x^2

Рассмотрим когда х=0 y’(0)=lim(∆x)ⁿ/∆x=lim(∆x)^n-1=/n>1\=0 если n=1/0,n>1;1,n=1\

^{∆x0 ∆x0}

Дифференциал функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х₀) – она называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точки представимо в виде:

∆y=∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x)¹

(0)=0 A=const

Определение: линейная ∆х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х₀:

dy=df(x₀)A∆x

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х₀ то A=f’(x₀), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x₀); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то есть в некоторой О(х₀) справедливо равенство ∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x¹; (0)=0. Поделим обе части этого равенства на ∆х и приведём к пределу при ∆х0:

lim(∆f(x₀))/∆x=lim(A+(x))=A. Этот предел существует, меньше , тогда по определению этот предел есть

^{∆x0 ∆x0}

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х₀  f’(x₀)(<) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х₀) и  lim(∆f(x₀))/∆x=f’(x₀) по определению предела следует, что в некоторой О(х₀)

^∆x0

(∆f(x₀))/∆x=(∆х)+f’(x₀) при ∆х0  ∆f(x₀)=f’(x₀)+(∆x)∆x, так как lim(∆x)=0, то в точке х₀ y (∆x) может

^∆х0

быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:

(0)=0, тогда ∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x  A=f’(x₀) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x₀)=f’(x₀)∆x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=∆x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x

Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx x₀=/2 ∆x=/180

y’=-sinx y’(/2)=-sin(/2)=-1

dy(/2)=-1∆x=-1/180=-/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, а z=g(y) дифференцируема в точке у₀=f(x₀), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х₀ и z’(x₀)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) ∆z=g’(y₀)∆y+(∆y)∆y

(2) ∆y=f(x₀)∆x+(∆x)∆x (0)=0 (0)=0

Подставим в первое равенство второе:

∆z=g’(y₀)f(x₀)∆x+g’(y₀)(∆x)∆x+[f’(x₀)+(∆x)∆x][f’(x₀)∆x+(∆x0∆x]

lim∆z/∆x=limg’(x₀)f’(x₀)+limg’(x₀)(∆x)+lim (f’(x₀)+(∆x)∆x)[f’(x₀)+∆x]  z’(x₀)=g’(y₀)f’(x₀) что и требовалось

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

доказать.

Теорема: Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) в О(х₀) и дифференцируема в точке х₀. Тогда обратная у ней функция x=g(y) дифференцируема в точки y₀=f(x₀), причём g’(y₀)=1/f(x₀)

Доказательство: из дифференцируемой функции f(x) в точке х₀ и из монотонности следует существование обратной функции в точке х₀ и её непрерывность lim[∆y(y₀)]/∆y= ∆y0, то ∆у0  в силу строгой

^∆у0 монотонности функции и обратной =

к ней следует ∆х0

=lim∆x/∆y=lim1 /(∆y/∆x)= в силу непрерывности следует =1/[lim∆y/∆x]=1/[lim∆f(x₀)/∆x]=1/f(x₀) f(x₀)0

^{∆y0 ∆y0} ∆у0, то ∆х0 и наоборот ^{∆x0 ∆x0}

y=a^x

y’(x)=lim[a^x+∆x-a^x]/∆x=lim[a^x(a^∆x-1)]/∆x=lim[a^x(e^∆xlna-1)]/∆x=/∆x0, то ∆xlna0\=lim[a^x∆xlna]/∆x=a^xlna

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

y’=a^xlna, частный случай y=e^x  (e^x)’=e^x

^{y=x^2}

_{y’=x^2 lnx}

y=lnx

y’=lim[ln(x+∆x)-lnx]/∆x=lim[ln((x+∆x)/x)]/∆x=lim[ln(1+∆x/x)]/∆x=/∆x/x0 при ∆x0\=lim(∆x/x)/∆x=1/x

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

(lnx)’=1/x

^y=lnx

_y’=1/x

y=log_ax=lnx/lna (log_ax)’=1/xlna

^y=lgx

_y’=1/xln10

y=arcsinx обратная функция x=siny x[-1;1] y[-/2;/2]

(arcsinx)’_x=x0=1/(siny)’_y0=y=1/cosy_y0=y=

y[-/2;/2], cosy0 cosy>0, если y[-/2;/2] то есть x1

=1/(1-sin²y)_y=y0=1/(1-(sinarccosx)²)_x=x0=1/(1-x₀²)

(arcsinx)’=1/(1-x²)

^y=arcsinx

_{y’=1/(1-x^2)}

y=acrcosx, обратная x=cosy x[-1;1] y[0;]

(arcosx)’=1/(cosy)’_y=y0=1/-siny_y=y0=-1/(1-cos²y)_y=y0=-1/(1-(cosarccosy)²)_x=x0=-1/(1-x₀²)

(arcosx)’=-1/(1-x²)

^y=arccosx

_{y’=--1/(1-x^2)}

y=arctgx обратная функция x=tgy y(-/2;/2)

(arctgy)’=1/(tgy)’=cos²y= / 1+tg²y=1/cos²y \ =1/(1+x²)

(arctgy)’=1/(1+x²)

(arcctgy)’=-1/(1+x²)

^y=arctgsx

_{y’=-1/ (1+x^2)}

^y=arcctgx

_{y’=--1/ (1+x^2)}

Гиперболические функции.

chx=(e^x+e^-x)/2

shx=(e^x-e^-x)/2

chx²-shx²=1

chx²+shx²=ch2x

ch(-x)=chx

sh(-x)=-shx

chx shx

^cthx=chx/shx

^thx=shx/chx

(chx)’=sh(x)

(shx)’=ch(x)

(thx)=1

Лекция №12

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 25 октября 2000 г.

Тема: «Линеаризация»

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

f’(x₀)=tg

уравнение прямой : Y=kx+b

y₀=f(x₀)=kx₀+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x₀)

Y=f(x₀)+f(x₀)-f’(x₀)x₀

b=f(x₀)-kx₀

Y=f(x)+f’(x₀)(x-x₀)

∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0  в некоторой

O(x₀) f(x₀)=f’(x₀)+f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y¹=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)^a=f’(x₀)+f’(x₀)∆x

df(x₀)=f’(x₀)∆x

Геометрический смысл дифференциала:

df(x₀) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х₀;f(x₀).

Замечание: Часто говорят о касательной проведённой в точке х₀.

Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х₀) заменяется отрезком касательной в точке х₀.

(*) f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀), xx₀

Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) – уравнение касательной в точке х₀

Формула получена из определения дифференциала в точке х₀ функции

f(x)=f(x₀)+f(x₀)∆x+o∆x при ∆х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х₀.

Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.

Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки.

³8,001=1

х₀=8

х=8,000

f(x)=³x

f(x₀)=f(8)=2

Проведём линеаризацию выбранного корня.

f’(x)_х=8=(³x)’_x=8=1/3x^-2/3_x=8=1/12

³x2+1/12(x-8), x8

³x2+0,001/12

Y_кас=2+1/12(x-8)

³x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х8

Погрешности вычисления.

f(x)-f(x₀)=df(x₀)+o(x-x₀) при хх₀

∆f(x₀)df(x₀), xx₀

∆¹=∆f(x₀)df(x₀)

f(x)=10^x в точке х₀=4, если ∆х=0,001 х=40,001

10⁴∆=10⁴23

f’(x)=10^xln10; f’(4)=10⁴ln10=23000; ln102,2

∆230000,001=23

Изучение поведения функции при помощи первой производной.

Слева от М₀ tg >0; Справа от М₀ tg <0

tg f’(x)>0 слева от М₀

tg f’(x)<0 справа от М₀

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема  x(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

_a( |_x1 |_x2 )_b

x₁,x₂(a,b) x₁2

Надо доказать: f(x₁)2)

Применим теорему Лангранджа на отрезке (х₁,x₂)^{Теорема}.

f(x₂)-f(x₁)=f’(c)(x₂-x₁) где c(x₁,x₂)

f(x₂)-f(x₁)>0  f(x₂)>f(x₁)

Экстремумы функции.

Можно указать О(х₁) в которой все значения функции

f(x)1) b и О_1(х₁) анологично для точки х₂

f(x)>f(x₁) b и О_2(х₁). Значенгие функции в точке М₁, М₃ и М₅ –

max; M₂ и М₄ – min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение: (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х₀) и f(x)>f(x₀) в

О(х₀) или f(x)0) в этом случае точка х₀ – называется точкой локального max (min).

Замечание:

f(x)f(x₁) в О_1(х₁)

f(x)f(x₂) в О_2(х₂)

говорят, что точки х₁ и х₂ точки не строгого локального

экстремума.

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х₀ и точка х₀ – точка экстремума, тогда f(x₀)=0

Доказательсто: Заметим, что х₀ точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x₀) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)(x-x₀)+o(x-x₀)

f(x)-f(x₀)=(x-x₀)[f(x₀)+(x-x₀)] то при х – достаточно близких к х₀ знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x₀)0 (x-x₀) – меняет знак при переходе черех точку х₀  f’(x₀)=0

Лекция №13

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 31 октября 2000 г.

Тема: «Экстремумы»

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум.

y=(x-1)³

y’=3(x-1)²

y’(1)=0

x₀=1

xO^-_(1)f(x)<0

xO⁺_(1)f(x)<0

x=1 – не точка экстремума.

Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)const (x[a,b]) (const)’=0.

Пусть mf(a): c(a,b):f(c)=M, то есть точка с точка экстремума максимума следовательно по теореме Ферма f’(c)=0

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке [a,b]

Геометрический смысл.

f’(x)=0, то касательная  оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

Теорема Лангранджа:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство:

F(x)=f(x)+x где  - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+a

F(b)=f(b)+b

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =[f(b)-f(a)]/[b-a]

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b]   c(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+  f’(c)=-=[f(b)-f(a)]/[b-a]

То есть на кривой которая наклонена

к оси х под таким же углом как и секущая

[f(b)-f(a)]/[b-a]=tg=f(x)  c(a,b)

Замечание:

Часто точку с можно представить в

нужном виде:

с=х₀+∆х

0<(c-x₀)/(x-x₀)= <1

c-x₀=(x-x₀)

c=x₀+(x-x₀)¹

f(x)-f(x₀)=f’(x₀+∆x)(x-x₀)

0<<1

∆f(x₀)=f’(x₀+∆x)∆x

Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной)

Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в О(х₀). Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, то точка х₀ – точка экстремума. Если меняет знак:

с + на – то это точка максимума

с – на + то это точка минимума

Доказательство:  х₁  О^-(х₀) на [x₁,x₀];  c₁(x₁,x₀) f(x₀)-f(x₁)=f’(c₁)(x₀-x₁)  f(x₀)>f(x₁) x₁O^-(x₀)

 х₂  О⁺(х₀) на [x₀,x₂];  c₂(x₀,x₂) f(x₂)-f(x₀)=f’(c₂)(x₂-x₀)  f(x₂)0) x₂O⁺(x₀)

f(x₀)>f(x) xO(x₀)  точка х точка максимума.

Если в точке х₀ существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которых f(x) существует, а f’(x) не существует.

Принцип решения подобных задач:

Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке [a,b].

Ход решения:

1. Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 или f’(x)  x₁, x_n

2. Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a), f(b), f(x₁)….f(x_n)

3. Выбираем наибольшее и наименьшее mf(x)

Определение: точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками.

Производная функции высшего порядка.

Существует f’(x)  x(a,b), тогда эта производная сама является функцией х (х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует ’(x)  x(a,b), то мы называем её второй производной ’(x)f’’(x)

Лекция №14

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 8 ноября 2000 г.

Тема: Производная функции высшего порядка.

f⁽ⁿ⁾=^def=(f^(n-1)(x))’

’’’ – [dⁿf(x)]/dxⁿ=(d/dx)([d^n-1f(x)]/dxⁿ)

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа¹)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и g’(x)0, x(a,b), тогда  с  (a,b) такая, что [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’’(c)/g’(c)

Доказательство: Отметим прежде всего, что g(b)g(a), так как по теореме Лангранджа¹ для функции g(x)

g(b)-g(a)=g’(c₁)^II (b-a)^III0 (c₁(a,b)) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-g(X) где  -неизвестное число

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b)

Потребуем F(a)=f(b)

F(b)=f(b)-g(b)

---

F(a)=f(a)-g(a)

___________________

0=f(b)-f(a)-(g(b)-g(a)) =[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]. Получим, что F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля⁴

с(a,b):F’(c)=0, то есть F’(c)=f’(c)-g’(c)  =f’(c)/g’(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], что и требовалось доказать.

Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или / при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х₀), g’(x₀)0 в О(х₀), f(x₀)=g(x₀)=0 и 

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда  lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x₀)]/g(x)-g(x₀)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= c=c(x) лежащая между х их₀ если

^xx_ ^xx_ ^xx_

хх₀ то сх₀=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_

Замечание(1): f(x₀)=g(x₀)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х₀ f(x) и

^xx_ ^xx_

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x₀)=g(x₀)=0

Замечание(2): Если  f’(x₀) и g’(x₀), g’(x₀)0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x₀)(f’(x₀)+(x-x₀))]/ [(x-x₀)(g’(x₀)+ (x-x₀))]=f’(x₀)/g’(x₀)

^xx_ ^xx_ ^xx_

Теорема: (/) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О(х₀), g'(x)0 и О(х₀), дифференцируемы в О(х₀) и

lim f(x)=lim g(x)=;  lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=e^x g(x)=xⁿ x

lim e^x/xⁿ= lim e^x/1!= nN lim e^x/xⁿ= lim e^x/nx^n-1₌ lim e^x/[n(n-1)x^n-2]=lim e^x/n!=+

^{x+ x+ x+ x+ x+ x+}

f(x)=lnx

x+

g(x)=xⁿ

lim lnx/xⁿ= lim (1/x)/nx^n-1= lim 1/nxⁿ=0

^{x+ x+ x+}

Формулы Тейлора.

Определение: (многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀ многочлен (полином) вида

T_n(х)=f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)]/n! называется многочлен Тейлора с центром в точке х₀ или многочленом по степеням (х-х₀)

Свойства многочлена Тейлора.

Теорема: (основное свойство многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀ f(x)=T_n(x₀); f’(x₀)=T_n’(x₀),…,f⁽ⁿ⁾(x₀)=T_n⁽ⁿ⁾(x₀)

Доказательство; (подстановкой) T_n(х)=f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)]/n! , подставим х₀ получим T_n(x₀)=f(x₀). Продифференцируем многочлен Тейлора

T_n’(x)=f’(x₀)/1!+[f’’(x₀)2(x-x₀)]/2!+ [f’’’(x₀)3(x-x₀)²]/3!+ [fⁿ(x₀)n(x-x₀)^n-1]/n!, подставим вместо х х₀

T_n(x₀)=f(x₀)

T_n’’(x)=f’’(x₀)/1!+[f’’’(x₀)32(x-x₀)]/3!+…+ [f⁽ⁿ⁾(x₀)n(n-1)(x-x₀)^n-2]/n!

T_n’’(x)=f’’(x₀)

Формула Тейлора с остаточным членом пеано.

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀, тогда в О(х₀) f(x)=T_n(x)+o((x-x₀)ⁿ), xx₀

f(x)= f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ]/n!+0((x-x₀)ⁿ)(x-x₀)¹

lim[f(x)-T_n(x)]/(x-x₀)ⁿ=(0/0)=lim [f’(x)-T_n’(x)]/n(x-x₀)^n-1=(0/0)=….=lim [f⁽ⁿ⁾(x)-T_n⁽ⁿ⁾(x)]/n!=0  функция

^xx_ ^xx_ ^xx_

[f(x)-T_n(x)]/(x-x₀)ⁿ=(х-х₀)ⁱⁱ  f(x)-T_n(x)=(x-x₀)ⁿ(x-x₀)=0((x-x₀)ⁿ) при хх₀ что и требовалось доказать.

Замечание: в случае если х₀=0 формула Тейлора называется Маклорена f(x)=f(0)+[f’(0)x]/1!+ [f’’(0)x²]/2!+ [fⁿ(0)xⁿ]/n!+0xⁿ при х0

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 14 ноября 2000 г.

Тема: Пять основных разложений

1)y=e^x, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=e^x|_x=0=1

y’’(0)=e^x|_x=0=1

y⁽ⁿ⁾(0)=e^x|_x=0=1

n=1 e^x=1+x+o(x),xx₀

2) y=sinx, x₀=0

y(0)=0

y’(0)=cos|_x=0=1

y’’(0)=-sinx|_x=0=0

y’’’(0)=-cosx|_x=0=-1

y’’’’(0)=sinx|_x=0=0

если n – чётное, то y⁽ⁿ⁾(0)=0; n=2k+1 – нечётное y⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^k

3) y=cosx, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=-sinx|_x=0=0 ^*

y’’(0)=-cosx|_x=0=-1

y’’’(0)=sinx|_x=0=0

y’’’’(0)=cosx|_x=0=1

если n=2k – чётное, то y⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^k; n=2k+1 – нечётное y⁽ⁿ⁾(0)=0

4) y=ln(1+x), x₀=0

y(0)=ln1=0

y’(0)=1/(1+x)|_x=0=1

y’’(0)=1(-1)/(x+1)²_x=0=-1

y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)³_x=0=(-1)(-2)

y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)⁴_x=0=(-1)(-2)(-3)

y⁽ⁿ⁾=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)ⁿ_x=0=(-1)^n-1123…(n-1)=(-1)^n-1(n-1)!

5) y=(1+x)^p, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=p(1+x)^p-1|_x=0=p

y’’(0)= p(p-1)(1+x)^p-2_x=0=p(p-1)

y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)^p-3_x=0=p(p-1)(p-2)

y⁽ⁿ⁾=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)^p-n_x=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)

Если р – натуральное, то y⁽ⁿ⁾(0)=0 np+1

(либо n

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n+1 раз дифференцируема в О(х₀), тогда в некоторой О_ε(х₀)

^#

где с лежит между х и x_n

Доказательство: Применим теорему Коши о двух функциях к следующим функциям

(x)=f(x)-T_n(x)^$

g(x)=(x-x₀)ⁿ⁺¹

(x₀)=0; ’(x₀)=0,…,⁽ⁿ⁾(x₀)=0; ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

g’(x₀)=(n+1)(x-x₀)ⁿ_x=0=0; g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(n+1)!

[a,b](x);(a,b)g(x);g’(x)0

Лекция №16

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 21 ноября 2000 г.

Тема: Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа, Выпуклость, Вогнутость.

Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Пусть функция f(x) – два раза дифференцируема в О(х₀), тогда

f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+[f’’(c)(x-x₀)²]/2 где с лежит между х и х₀

уравнение касательной

Если f’’(x)M xO(x₀)

f(x)-n+1 – дифференцируема в О(х₀)

f(x)=T_n(x)+R_n(x)^ в О(х₀)

n=1

T₁(x) – линейная функция

n=2

- график парабола

f(x)-T₁(x)=f’(x₀)x-x₀

f(x)-T₂(x)=[f’’(x₀)x-x₀²]/2

T₃(x)=ax³+bx²+cx+d – график кубическая парабола

Выпуклость и вогнутость.

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х₀, если f(x)-y_кас<0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х₀, если f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О(х₀) и непрерывна в О(х₀). Точка х₀ –

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀ и f’’(x₀)<0 (f’’(x₀)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х₀.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:

Если х близко к х₀, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x₀). Если f’’(x₀)<0, то f(x)-y_кас>0 в О(х₀).

Если f’’(x₀)>0, то f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х₀) и дважды дифференцируема в О(х₀), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, тогда точка х₀ – точка перегиба.

Доказательство:

f’’(x) - +

^{(  ) x}

x₀

f’’(x)<0 в o^-(x₀) f(x) – выпукла вверх в О^-(х₀)

f’’(x)>0 в O⁺(x₀) f(x) – выпукла вниз в О⁺(х₀)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х₀. Если точке х₀ точка перегиба, то f’’(x₀)=0

Путь точка х₀ точка перегиба и существует f’’(x₀)>0, тогда

то есть при переходе через точку х₀ левая часть равенства f(x)-y_кас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x₀)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x₀)=0 необходимо, но недостаточно.

Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной)

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀, тогда точка х₀ точка максимума если f’’<0, точка х₀ точка минимума если f’’(x₀)>0.

Доказательство:

При х достаточно большим и х₀ знак в квадратных скобках совпадает со знаком f’’(x₀) f(x)-f(x₀)>0 в О(х₀), если f’’(x₀)>0 то есть f(x)>f(x₀) в О(х₀) х₀ точка минимума, если f(x)-f(x₀)<0 в О(х₀), и если f’’(x₀)<0 то есть f(x)0) в О(х₀) х₀ точка максимума.

Замечание: Если f’(x₀)=0 и f’’(x₀)=0, то нужны дополнительные исследования.

Лекция №17

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 22 ноября 2000 г.

Тема: Асимптоты. Полное исследование функции.

Асимптоты.

1. Вертикальные

1. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется правой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется левой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Наклонные асимптоты

2.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная асимптота).

2.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции f(x).

Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в О(+) и

тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота

Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел lim(f(x)), чтобы выяснить поведение

^х+

функции на бесконечности.

Полное исследование функции.

1. Область определения

2. Симметрия и периодичность

3. Вертикальные асимптоты

4. Наклонные асимптоты

5. Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, а f(x) существует

6. Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либо f’’(x) не существует, но f’(x) существует следовательно промежутки выпуклости и вогнутости

7. Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если можно)

Пример:

1. Область определения D: x№3

2. Функция не симметрична и не периодична

3. 

Ю х=3 правая и левая вертикальная асимптота

4)

Ю y=0 правая и левая горизонтальная асимптота

5)

критическая точка х₁=-3/2

f(-3/2)=4/243

6)

критическая точка х₂=-3

f(-3)=1/72

7)x=0 y=0

Приближенные методы решения уравнения f(x)=0

1) Метод хорд

а) f(x), f’(x), f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b]

б) f(a)f(b)<0

в) f’(x) и f’’(x) – сохраняют знаки на отрезке [a,b]

f()=0;A(a;(f(a)),B(b;f(b))

Лекция №18

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Оценка скорости сходимости.

2

2) Метод касательных (метод Ньютона)

f(x)=0

1)f(x),f’(x),f’’(x)-непрерывна на [a,b]

2)f(a), f(b) <0

3)f’(x),f’’(x) – сохраняет знак на [a,b]

точка пересечения х₁ – это точка пересечения касательной с осью Ох

Y_кас=0, x=x₁

0=f(b)+f’(b)(x₁-b)

f’(b)b-f(b)=f’(b)x₁

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке x_n

c – лежит между х и х_n

Положим x=; f()=0

M>0:|f”(x)|M

x[a,b] m>0:|f’(x)|m;x[a,b]

Надо выбирать отрезок так b-a<1

|f”(x)|M

Вектор функция. Параметрическая производная.

По закону (1) ставиться в соответствие вектор r(t). (x(t),y(t) – заданные числовые функции

r(t) – вектор функция. Кривая описываемая концом вектора – называется годографом.

Видим, что кривые на плоскости можно задать в виде:

Называется параметрическое задание кривой, где t –параметр

x²+y²=r²

Остроида

x^2/3+y^2/3=a^2/3

Циклоида

Лекция №19

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Параметрическая производная.