МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МАДИ (ТУ)
КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Выполнил: Белоногов М.В.
Группа 4ВЭДС3
Проверил: Беляков Г.С.
Москва 1999-2000
Раздел 1.
Выбор оптимального маршрута поездки.
Постановка задачи:
Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.
Порядок решения задачи:
1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.
А 1 Б
4 В 2
Д 3 Г
Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.
пункт i |
А |
Б |
В |
Д |
1 |
4 |
yi
|
0 |
¥ |
¥ |
¥ |
¥ |
¥ |
28 |
13 |
17 |
8,32 |
9 |
16,64 |
Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.
Затем пересчитываем величины yi
используя правило:
Если yj
+ lij
< yi
, то величина yi
= yj
+ lij
, в противном случае yi
оставляем без изменений.Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.
yA
+ l4A
=0+9=9 < y4
=¥Þ y4
=9
yA
+ lBA
=0+13=13 < yB
=¥Þ yB
=13
yA
+ l1A
=0+8,32=8,32 < y1
=¥Þ y1
=8,32
Теперь рассматриваем пункт i для которого yi
перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.
y4
+ lB4
=9+7=16 > yB
=13
y4
+ lД
4
=9+8=17 < уД
=¥Þ yД
=17
yВ
+ lДВ
=13+12=25 > yД
=17
yВ
+ lБВ
=13+15=28 < уБ
=¥Þ yБ
=28
yВ
+ l1В
=13+9=22 > у1
=8,32
y1
+ lВ1
=8,32+10=18,32 > yВ
=13
y1
+ lБ1
=8,32+8,32=16,64 < уБ
=28 Þ yБ
=16,64
yД
+ l4Д
=8,32+17=25,32 > y4
=9
yД
+ lВД
=17+12,32=29,32 > yВ
=13
yБ
+ lВБ
=16,64+15,32=31 > yВ
=13
yБ
+ l1Б
=16,64+8=24,64 > y1
=8,32
Теперь проверим условие lij
³ yi
- yj
для всех дуг сети.
l4A
= у4
- уА
9=9-0
l4Д
>у4
– уД
8,32>9-17
lД4
= уД
– у4
8=17-9
lДВ
>уД
– уВ
12>17-13
lBA
= yB
- yA
13=13-0
lBД
> yB
– yД
12,32>13-17
lBБ
> yB
– yБ
15,32>13-16,64
lB4
> yB
– y4
7>13-9
lB1
> yB
– y1
10>13-8,32
lБВ
>уБ
- уВ
15>16,64-13
lБ1
= уБ
– у1
8,32=16,64-8,32
l1А
= у1
– уА
8,32=8,32-0
l1В
>у1
– уВ
9>8,32-13
l1Б
>у1
– уБ
8>8,32-16,64
Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:
lij
= yi
- yj
Таковыми являются:
l4A
= у4
- уА
9=9-0
lД4
= уД
– у4
8=17-9
lBA
= yB
- yA
13=13-0
lБ1
= уБ
– у1
8,32=16,64-8,32
l1А
= у1
– уА
8,32=8,32-0
Кратчайшие расстояния до пункта А равны:
пункт |
4 |
Д |
Б |
1 |
В |
расстояние до А |
9 |
17 |
16,64 |
8,32 |
13 |
Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.
2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
А |
--- |
16 |
13,32 |
--- |
17,64 |
Б |
16,64 |
--- |
15 |
21 |
--- |
В |
13 |
15,32 |
--- |
15 |
12,32 |
Г |
--- |
21,64 |
15,32 |
--- |
16 |
Д |
17 |
--- |
12 |
16,32 |
--- |
3. Математическая модель задачи коммивояжера:
Найти минимальное значение целевой функции z
n+1 n+1
min z = SSlij
* xij
i=1 j=1
при следующих ограничениях:
- из каждого города i нужно уехать только один раз
n+1
Sxij
= 1 i=1, ......, n+1
j=1
- в каждый город j нужно приехать только один раз:
n+1
Sxij
= 1 j=1, ......, n+1
i=1
- переменные xij
могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,
1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j
0 - в противном случае
- решение есть простой цикл
4. Решение задачи:
А |
Б |
В |
Г |
Д |
А |
--- |
16 |
13,32 |
--- |
17,64 |
Б |
16,64 |
--- |
15 |
21 |
--- |
В |
13 |
15,32 |
--- |
15 |
12,32 |
Г |
--- |
21,64 |
15,32 |
--- |
16 |
Д |
17 |
--- |
12 |
16,32 |
--- |
Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д
Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.
В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:
А – Б – Г – Д – В – А
minz = 16+21+16+12+13 = 78
Раздел 2.
Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).
Постановка задачи:
В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:
B1 = 50.000 т
B2 = 60.000 т
B3 = 45.000 т
B4 = 70.000 т
Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.
Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.
Затраты на приготовление аб, руб
мощность АБЗ |
Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cp
i
+ E*Kp
i
уд
|
т/час |
тыс. т/год |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
18 |
484 |
489 |
495 |
481 |
25 |
45 |
423 |
428 |
435 |
420 |
50 |
90 |
405 |
410 |
416 |
401 |
Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij
, руб
Пункт размещения |
Зона-потребитель |
1 |
28,3 |
60,3 |
45,3 |
90,3 |
2 |
61,3 |
30,3 |
93,3 |
48,3 |
3 |
50,3 |
95,3 |
33,3 |
62,3 |
4 |
99,3 |
54,3 |
65,3 |
36,3 |
Математическая модель транспортной задачи:
m n
min z = SSCij
* xij
i=1 j=1
Ограничения:
n
-Sxij
= ai
i=1, ......, m
j=1
весь продукт ai
имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.
m
-Sxij
= bj
j=1, ......, n
i=1
спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен
- xij
³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n
xij
– объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю
Транспортная таблица:
Мощность АБЗ |
Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
тыс.т/год |
B1
=50 |
B2
=60 |
B3
=45 |
B4
=70 |
Bф
=135 |
Ui
|
Ki
|
433,3 |
440,3 < 465,3 |
449,3 < 450,3 |
437,3 < 495,3 |
0 |
X1
=90 |
50 |
40 |
0 |
5/9 |
433,3 < 471,3 |
440,3 |
449,3 < 503,3 |
437,3 < 458,3 |
0 |
X2
=90 |
60 |
30 |
0 |
6/9 |
433,3 < 466,3 |
440,3 < 511,3 |
449,3 |
437,3 < 478,3 |
0 |
X3
=90 |
45 |
45 |
0 |
½ |
433,3 < 500,3 |
440,3 < 455,3 |
449,3 < 466,3 |
437,3 |
0 |
X4
=90 |
70 |
20 |
0 |
7/9 |
Vj
|
433,3 |
440,3 |
449,3 |
437,3 |
0 |
Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:
Вф
=Sаi
- S bj
= 360 – 225 = 135 тыс.т/год
В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij
С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij
.
Проверяем план на вырожденность:
m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательноплан является невырожденным.
Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф
, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток(Ui
+ Vj
= Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij
).
Проверяем план на оптимальность:
· число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1
· для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.
· для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :
Ui
+ Vj
<Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij
Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.
Определяем значения коэффициентов интенсивности.
Ki
= S xij
/ xi
S xij
– cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям
xi
– мощность i-го АБЗ
Так как ни один Ki
не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.
Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki
и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.
Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij
для клеток третьей строки.
Мощность АБЗ |
Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
тыс.т/год |
B1
=50 |
B2
=60 |
B3
=45 |
B4
=70 |
Bф
=90 |
Ui
|
Ki
|
433,3 |
424,3 < 465,3 |
450,3 |
421,3 < 495,3 |
-16< 0 |
X1
=90 |
50 |
40 |
-16 |
1 |
449,3 < 471,3 |
440,3 |
466,3 < 503,3 |
437,3 < 458,3 |
0 |
X2
=90 |
60 |
30 |
0 |
6/9 |
449,3 < 485,3 |
440,3 < 530,3 |
466,3 < 468,3 |
437,3 < 497,3 |
0 |
X3
=45 |
45 |
0 |
0 |
449,3 < 500,3 |
440,3 < 455,3 |
466,3 |
437,3 |
0 |
X4
=90 |
5 |
70 |
15 |
0 |
15/18 |
Vj
|
449,3 |
440,3 |
466,3 |
437,3 |
0 |
Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.
Мощность АБЗ |
Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
тыс.т/год |
B1
=50 |
B2
=60 |
B3
=45 |
B4
=70 |
Bф
=45 |
Ui
|
Ki
|
433,3 |
439,3 < 465,3 |
450,3 |
421,3 < 495,3 |
-18< 0 |
X1
=90 |
50 |
40 |
-16 |
452,3 < 489,3 |
458,3 |
469,3< 521,3 |
440,3 < 476,3 |
1 > 0 |
X2
=45 |
45 _ |
+ |
3 |
451,3 < 485,3 |
457,3 < 530,3 |
468,3 |
439,3 < 497,3 |
0 |
X3
=45 |
0 + |
_ 45 |
2 |
449,3 < 500,3 |
455,3 |
466,3 |
437,3 |
-2 < 0 |
X4
=90 |
15 + |
5 _ |
70 |
0 |
Vj
|
449,3 |
455,3 |
466,3 |
437,3 |
-2 |
Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui
+ Vj
<Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij
поэтому план необходимо улучшить.
Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп
= 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.
Мощность АБЗ |
Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
тыс.т/год |
B1
=50 |
B2
=60 |
B3
=45 |
B4
=70 |
Bф
=45 |
Ui
|
Ki
|
433,3 |
440,3 < 465,3 |
450,3 |
422,3 < 495,3 |
-18 < 0 |
X1
=90 |
50 |
40 |
-18 |
1 |
451,3 < 489,3 |
458,3 |
468,3 < 521,3 |
440,3 < 476,3 |
0 |
X2
=45 |
40 |
5 |
0 |
8/9 |
451,3 < 485,3 |
458,3 < 530,3 |
468,3 |
440,3 < 497,3 |
0 |
X3
=45 |
5 |
40 |
0 |
1/9 |
448,3 < 500,3 |
455,3 |
465,3 < 466,3 |
437,3 |
-3 < 0 |
X4
=90 |
20 |
70 |
-3 |
1 |
Vj
|
451,3 |
458,3 |
468,3 |
440,3 |
0 |
План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.
Мощность АБЗ |
Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
тыс.т/год |
B1
=50 |
B2
=60 |
B3
=45 |
B4
=70 |
Bф
=18 |
Ui
|
Ki
|
433,3 |
439,3 < 465,3 |
450,3 |
421,3 < 495,3 |
-78 < 0 |
X1
=90 |
50 |
40 |
-16 |
1 |
452,3 < 489,3 |
458,3 |
469,3 < 521,3 |
440,3 < 476,3 |
-59 < 0 |
X2
=45 |
45 |
3 |
1 |
511,3 < 545,3 |
517,3 < 590,3 |
528,3 |
499,3 < 557,3 |
0 |
X3
=18 |
0 |
18 |
62 |
0 |
449,3 < 500,3 |
455,3 |
466,3 |
437,3 |
-62 < 0 |
X4
=90 |
15 |
5 |
70 |
0 |
1 |
Vj
|
449,3 |
455,3 |
466,3 |
437,3 |
-62 |
План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.
Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.
Вариант размещения |
Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год |
Значение целевой функции, zi
, тыс.руб. |
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
1 |
50 |
60 |
45 |
70 |
98912,5 |
2 |
90 |
60 |
0 |
75 |
99037,5 |
3 |
90 |
40 |
5 |
90 |
100067,5 |
4 -наилучший |
90 |
45 |
0 |
90 |
100072,5 |
|