Реферат: Поверхности второго порядка

Содержание.

· Понятие поверхности второго порядка.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

· Классификация поверхностей второго порядка.

1. Классификация центральных поверхностей.

-1°. Эллипсоид.

-2°. Однополостный гиперболоид.

-3°. Двуполостный гиперболоид.
-4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

-1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

-2°. Параболический цилиндр

•Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

1. Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.

- 1°. Однополостный гиперболоид.

-2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

-1°. Эллиптический параболоид.
-2°. Гиперболический пара­болоид.

4 . Конус и цилиндры второго порядка.

- 1°. Конус второго порядка.
-2°. Эллиптический цилиндр.
-3°. Гиперболический цилиндр.
-4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁ х² + а ₂₂ у² +a ₃₃ z² +2a ₁₂ xy +2 a ₂₃ уz + 2a ₁₃ xz + 2а ₁₄ x + 2а ₂₄ у+2а ₃₄ z +а ₄₄ = 0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а ₂₂ , a ₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃ отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по­верхности второго порядка .

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль­тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁ х² + а ₂₂ у² +a ₃₃ z² + а ₄₄ = 0 (2)

Так как инвариант I₃ для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а ₂₂ • a ₃₃ , то коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи:

-1°. Коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ одного знака, а коэффициента ₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом .

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ противоположен знаку коэффициента а ₄₄ , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом . В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а ² , b² , с² . После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип­соида .

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz . называются его главными осями.

-2°. Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ два одного зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом .

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0,а ₂₂ >0, a ₃₃ <0,а ₄₄ <0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а ² , b² , с² . После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида .

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу иOz называются его глав­ными осями.

-3° . Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0,а ₂₂ <0, a ₃₃ >0,а ₄₄ <0. Тогда :

Обозначим эти числасоответственно через a² , b² , с² . Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двупо­лостного гиперболоида .

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

- 4° . Коэффициент а ₄₄ равен нулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка .

Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а ₄₄ =0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка . Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а ₂₂ > 0,a ₃₃ <0. Обозначим

соответственно через а² , b² , с² . Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственного конуса второго порядка .

2. Классификация нецентральных поверхностей второго по­рядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариантI ₃ равен нулю. Произведем стандартное упрощение урав­нения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁ х ´ ² + а ´₂₂ у ´ ² +a´ ₃₃ z´ ² + 2а ´ ₁₄ x´ + 2а ´ ₂₄ у ´ +2а ´ ₃₄ z´ +а ´ ₄₄ = 0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I ₃ =0 и его значение, вы­численное для уравнения (7), равно

a´₁₁ • а ´₂₂ • a´ ₃₃ , то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а ´₂₂ , a´ ₃₃ равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

-1° . Один из коэффициентов a´₁₁ , а ´₂₂ , a´ ₃₃ равен нулю. Радиопределенности будем считать, чтоa´ ₃₃ =0(если равен нулю ка­кой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перей­ти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляях', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁ наa₁₁ , а ´₂₂ на а ₂₂ , а ´ ₃₄ на p и а ´ ₄₄ на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординатOxyz :

a₁₁ х² + а ₂₂ у² + 2pz + q = 0 (9)

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁ и а ₂₂ одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁ и а ₂₂ различны.

2) Пусть р=0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a ₁₁ х² + а ₂₂ у² + q = 0 (10)

Известно, что уравнение (10) яв­ляется уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz . При этом если a₁₁ , а ₂₂ , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. ци­линдр будет мнимым . Если же среди коэффициентов a₁₁ , а ₂₂ , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет ве­щественным . Отметим, что в случае, когда a₁₁ и а ₂₂ имеютодинаковые знаки, a q — противоположный, то величины

положительны.

Обозначая их соответственно через а ² и b² , мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр . В случае, a₁₁ и а ₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр . Легко убедиться, что урав­нение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3) Пусть р ≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0, ).

При этом оставим старые обозначения координатх, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверх­ности S в новой системе координат, достаточно заменить в урав­нении (9)

Получим следующее уравнение:

a ₁₁ х² + а ₂₂ у² + 2pz = 0 (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды . Причем если a₁₁ и а ₂₂ имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим . Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение (14) легко получается из (13). Если a₁₁ и а ₂₂ имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболиче­ским . Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Это уравнение также легко может быть получено из (13).

-2°. Два из коэффициентов a´₁₁ , а ´₂₂ , a´ ₃₃ равны нулю. Ради определенности будем считать, чтоa´₁₁ = 0 и а ´₂₂ = 0 Перейдем отх,', у', z' к. новымкоординатам х, у, z по формулам :

Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´ ₃₃ на a _{33 ,} a´ ₁₄ на р , a´ ₂₄ наq и a´ ₄₄ на r , по­лучим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординат Охуz :

a ₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0 (17)

1) Пусть р=0, q=0 . Поверхность Sраспадается на пару па­раллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми , если знаки a ₃₃ и r одинаковы, и вещественными , если знаки a ₃₃ и r различ­ны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг осиOz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+ 2qy+r=0 . Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a ₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)

которое является уравнением параболического цилиндра с обра­зующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

1. Эллипсоид.

Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало коорди­нат—центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе формуэллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линииL_h пересечения эл­липсоида с плоскостями

z = h(20)

параллельными плоскости Оху. Уравнение проекцииL^* _h ли­нииL_h на плоскость Оху получается из уравнения (3), если положить в немz = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид

Если положить

то уравнение (21) можно записать в виде

Представление об эллипсоиде можно получить следующим об­разом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23) (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят отh (см. (22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на ка­кую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мыполучим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «кар­ту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.

(Метод представления формы фигуры путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)

Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.

Эллипсоид
.

2. Гиперболоиды.

-1° . Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому

уравнению (4) однополостного гиперболоида

Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

-2° . Двуполостный гиперболоид. Из канонического уравнения (5)двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные пло­скости являются его плоскостями симметрии, а начало коорди­нат — его центром симметрии.

3. Параболоиды.

-1°. Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида

мы видим, что для негоOxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

-2°. Гиперболический пара­болоид. Из канонического уравнения (15)




гиперболического параболои­да вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоско­стями симметрии. ОсьOz называется осью гиперболического п aраболоида .

Прим. : получение «карты высот» для гиперболического п aраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.

Линииz=h пересечения гиперболического параболоида плоскостямиz=h представляют собой при h>0 гиперболы

с полуосями

а приh < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)

Используя формулы (24)—(27), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым :

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).
Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллип­тического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболи­ческий параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, предста­вляющей собой сечение плоско­стьюOxz (Оу z ), когда ее вер­шина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболо­ида плоскостьюOyz (Oxz).

Прим.: Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

Гиперболический пара­болоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

-1°. Конус второго порядка

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми ли­ниями, проходящими через начало О координат. Естественно на­зывать точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевид­но, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М ₀ (х ₀ , у ₀ , z ₀ ) ко­нуса (6) и начало координат О , целиком распола­гается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямойL удовлетворяют уравнению (6).

Так как точка М ₀ (х ₀ , у ₀ , z ₀ ) лежит на конусе (6), то :

-2° . Эллиптический цилиндр.

-3° . Гиперболический цилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

-4° . Параболический цилиндр.

a ₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)
Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболического цилиндра.