Реферат: Пределы

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти X_n если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N₀ , такое что при всех n>N₀ будет выполн-ся нер-во |X_n -A|<E. lim_{n ® ¥} X_n =A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N₀ , для кот. любые точки >N₀ попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во:предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N₁ "n>N₁ |a-Xn|<E/2 Из lim Xn=b (n®¥) => " E/2 $ N₂ "n>N₂ |Xn-и|<E/2 N₀ =max(N₁ ;N₂ ), n>N₀ . |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N₁ Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во:1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N₂ |Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2. Из $ lim Yn=a (n®¥) => n>N₃ , a-E<Yn<a+E. 3. N₀ =max(N₁ ,N₂ ,N₃ ). При всех n>N₀ Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N₀ , n>N₀ , |Xn|<E.

Свойства б.м. величин :

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во:из Xn – б.м. => " E/2 $N₁ , n>N₁ |Xn|<E/2

из Yn–б.м.=>" E/2 $N₂ , n>N₂ |Yn|<E/2, N₀ =max(N₁ ,N₂ ), N>N₀ ,|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E=>lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N₀ n>N₀ |Yn|<E/K.

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во:Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N₀ n>N₀ |Xn-a|<E

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N₀ , n>N₀ , |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn=¥ (n®¥).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>"M $N₁ , n>N₁ |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $ N₂ , n>N₂ |Yn|>M

N₀ =max(N₁ , N₂ ) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M² >M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N₀ , n>N₀ |Xn|>M =>n>N₀ .

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во:lim Xn=a => Xn=a+a_n ; lim Yn=b => Yn=b+b_n ;

Xn ± Yn = (a + a_n ) ± (b + b_n ) = (a ± b) + (a_n ± b_n ) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во:Xn/Yn – a/b = (a+a_n )/(b+b_n ) – a/b = (ab+a_n b–ab–ab_n )/b(b+b_n ) =(ba_n -ab_n )/b(b+b_n )=g_n => Xn/Yn=a/b+g_n => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x₀ , если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x₀ |<d, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или "x выпол x₀ -d<x<x+d=> A-E<f(x)<A+E.

Lim _{x ® x0} f(x)=A

Ф-ия y=f(x)наз-ся бесконечно большой при x ® x₀ если для "М>0 сколь угодно большого $d>0, что "x |x-x₀ |<d будет выполняться нер-во |f(x)|>M, "x x₀ -d<x<x₀ +d, -M>f(x)>M.

Lim f(x)= ¥ (x ® x₀ ).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x ® ¥ , если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|<E.

I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

S_треуг МОА< S_сект МОА<S_треуг СОА.

S_треуг МОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

S_сект МОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

S_треуг СОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}

1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. lim_{x ® 0} (tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;

2.lim_{x ® 0} (arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=

=lim_{t ® 0} t/sint=1;

3. lim_{x ® 0} (sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=

=a/b lim_{a x ® 0} (sin ax)/ax=a/b.

II замечательный предел.

lim_{n ® ¥} (1+1/n)ⁿ =?

Бином Ньютона: (a+b)ⁿ =aⁿ +na^n-1 b+(n(n-1)a^n-2 b² )/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)a^n-4 b⁴ )/4!+...+bⁿ .

(1+1/n)ⁿ =1+n1/n+n(n-1)/2!n² +n(n-1)(n-2)/3!n³ +...+1/nⁿ = =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nⁿ ={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/2² (1-1/n)(1-2/n)+1/2³ (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2ⁿ < 2+0.5+1/2² +1/2³ +...+1/2ⁿ =2+0.5(1-1/2ⁿ )/(1-0.5)=2+1-1/2ⁿ =3-1/2ⁿ <3.

2£(1+1/n)ⁿ <3 => $ lim_{n ® ¥} (1+1/n)ⁿ =e.

Следствия :

1.lim_{x ® + ¥} (1+1/x)^x =e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)^x ³(1/x+1)^x ³(1+1/(n+1))^x

(1/n+1)ⁿ⁺¹ ³(1+1/x)^x ³(1+1/(n+1))ⁿ lim_{n ® ¥} (1+1/n)ⁿ (1+1/n)=e*1=e,· lim_{n ® ¥} (1+1/(n+1))ⁿ⁺¹ *1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $lim_{x ® + ¥} (1+1/x)^x =e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х₀ , если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х₀ равный значению фун f(x₀ ).limf(x)=f(x₀ )

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $lim_{x ® x0-0} f(x) $lim_{x ® x0+0} f(x) – конечные пределы; 3. lim_{x ® x0-} f(x)=lim_{x ® x0+} f(x);

4. lim_{x ® x0 ±} f(x)=f(x₀ ).

Если Х₀ т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х₀ – 1 род

Если Х₀ – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х₀ т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х₀ – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f₁ (x) и f₂ (x) непрерывны в точке х₀ , то сумма (разность) y(х)=f₁ (x)±f₂ (x), произведение у(х)=f₁ (x)*f₂ (x), а также отношение этих фун у(х)=f₁ (x)/f₂ (x), есть непрерывная фун в точке х₀ .

Док-во (суммы): По определению получ lim_{х ® х0} f₁ (x)=f₁ (x₀ ) и lim_{х ® х0} f₂ (x)=f₂ (x₀ ) на основании св-ва1 можем написать: lim_{х ® х0} у(х)=lim_{х ® х0} [f₁ (x)+f₂ (x) ]=

=lim_{х ® х0} f₁ (x)+lim_{х ® х0} f₂ (x)=f₁ (x₀ )+f₂ (x₀ )=у(х₀ ). Итак сумма есть непрерывная фун.·

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х₀ , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z₀ =j(х₀ ), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х₀ .

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке

Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b) , если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства (small) :

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна т-ка в кот ф-ия отрицат, то $ x₀ на [a;b], f(x₀ )=0.

Св-ва непрерывности на заданном промежутке (full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х₁ такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x₁ )³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х₂ , что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю

f(x₂ )£ f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xÎX, x₀ ; x₀ +Dx ÎX => Dy=Df(x₀ )=f(x₀ +Dx)-f(x₀ ), Dy/Dx=(f(x₀ +Dx)-f(x₀ ))/Dx.

Если $ lim_{Dx ®0} Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х­₀ . · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. Lim_{Dх ®0} (f(x₀ +Dx)-f(x₀ ))/Dx= =f^/ (х)=df(x)/dx=dy/dx=y^| (x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х₀ равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х₀ ; f(x₀ )).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М₀ (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.

y^| (x₀ )=lim_{D х ® 0} (f(x₀ +Dx)-f(x₀ ))/ /Dx=lim_{D х ® 0} Dy/Dx=lim_{D х ® 0} tga==lim_{a ® a 0} tga=tga₀ .

L: y-f(x₀ )=f^\ (x₀ )(x-x₀ )

N_l =y-f(x₀ )=-(x-x₀ )/f^\ (x₀ ).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y^| =U^| (x)+ V^| (x) . Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y^| =lim_{D x ® 0} Dy/Dx = lim_{D x ® 0} Du/Dx+ lim_{D x ® 0} Dv/Dx=U^| (x)+V^/ (x).

2. y=uv, y^| =u^| v+uv^| . Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,

y^| = lim_{D x ® 0} Dy/Dx= lim_{D x ® 0} Duv/Dx + lim_{D x ® 0} Dvu/Dx + lim_{D x ® 0} DuDv/Dx={ lim_{D x ® 0} Du=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u^| v+uv^| .

3. y=u/v, y^| =(u^| v-uv^| )/v² . Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)

Dy/Dx...

4. y=a^x , y^| =a^x ln a. Док-во: ln y=x ln a, y^| /y=ln a, y^| =yln a y^| =a^x ln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]^/ =0^/ }

Формула Лейбница.

y^{( n )} =(uv)⁽ⁿ⁾ =(u)⁽ⁿ⁾ v+nu^(n-1) v^| +([n(n-1)]/[1*2])*n^(n-2) v^|| +…+uv⁽ⁿ⁾

Дифференцирование ф-ии в точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х₀ , если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. lim_{D x ® 0} O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.

Теорема : y=f(x) дифф-ма в т-ке Х₀ т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f^\ (x₀ ).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)

f^\ (x₀ )=lim_{Dx ®0} Dy/Dx= lim_{Dx ®0} [(ADx+O(Dx))/Dx] = lim_{Dx ®0} (A+O(Dx)/Dx)=A => Dy=f^\ (x₀ )Dx+O(Dx) => lim_{Dx ®0} Dy=0 => f(x) – непрерывна.

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f^\ (x₀ ) – число, f^\ (x₀ )=lim_{Dx ®0} Dy/Dx => Dy/Dx=f^\ (x₀ )+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f^\ (x₀ )Dx+a(Dx)Dx => Dy=f^\ (x₀ )Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => lim_{Dx ®0} O(Dx)/Dx=lim_{Dx ®0} a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.

Приближ знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x₀ +Dx)-f(x₀ ) =>f(x₀ +Dx)=f(x₀ )+Dy»f(x₀ )+df(x₀ )=f(x₀ )+f^\ (x₀ )dx, dx=Dx.