Реферат: Уравнения с параметрами

ПЛАН

Введение

Глава 1.

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

§2. Основные виды уравнений с параметрами.

Глава 2.

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

Заключение.

ВВЕДЕНИЕ

Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы "Уравнения с параметрами". Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.

Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.

ГЛАВА 1

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

Рассмотрим уравнение

F (х, у, ..., z; α,β, ..., γ ) = 0 (F )

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β, ..., γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α₀ ,β₀ , ..., γ₀ уравнение (F) обращается в уравнение

F(х, у, ..., z; α₀ ,β₀ , ..., γ₀ ) = 0(F₀ )

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F ),

Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (Ф )

с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

F(x, у,,z; α,β, ..., γ) =0 (F )

задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, ..., γ );

у = у(α,β, ..., γ);….

z= z (α,β, ..., γ). (Х)

Говорят, что система функций (Х ), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F ), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

F ( x (α,β, ..., γ), y( α,β, ..., γ),…, z (α,β, ..., γ ) ≡0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α₀ ,β=β₀ , ..., γ= γ₀ соответствующие значения функций (Х ) образуют решение уравнения

F(х, у, ..., z; α₀ ,β₀ , ..., γ₀ ) = 0

§2. Основные виды уравнений с параметрами .

Линейные и квадратные уравнения.

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

П р и м е р . Решим уравнение

2а(а — 2) х=а — 2. (2)

Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A₁ ={0}, А₂ ={2} и Аз= {а ≠0, а ≠2}

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а= 0 ; 2) а= 2 ; 3) а≠0, а≠2

Рассмотрим эти случаи.

1) При а= 0уравнение (2) принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2уравнение (2) принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х=

откуда х= .

0 т в е т: 1) если а= 0, то корней нет; 2) если а= 2, то х — любое действительное число; 3) если а ≠0, а ≠2 , то х =

П р и ме р . Решим уравнение

(а — 1) х ² +2 (2а +1) х +(4а +3) =0; (3)

Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a =1. Дело в том, что при a =1 уравнение (3) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а =l; 2) а ≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a =1 уравнение (3) примет вид бх +7=0. Из этого

уравнения находим х= - .

2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=а_о , то при переходе значения D через точку а_о дискриминант может изменить знак (например, при а<а_о D< 0, а при а>а_о D>0). Вместе с этим при переходе через точку а_о меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<а_о корней нет, так как D< 0, а при а>а_о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (3):

=(2а+ l)² — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим а= — второе контрольное значение параметра а. При

этом если а < , то D <0; если a ≥ , , то D≥0.

a ≠ 1

Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда а < и в случае, когда { a ≥ , a ≠ 1 }.

Если а < , то уравнение (3) не имеет действительных корней; если же

{ a ≥ , a ≠ 1 }, то находим

Ответ: 1) если а < , то корней нет ; 2) если а = 1, то х = - ;

3) a ≥ , то

a ≠ 1

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.

П р и м ер . Решим уравнение

(4)

Р е ш е н и е. Значение а=0 является контрольным. При a =0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:

х ² +2 (1 — а ) х +а ² — 2а — 3= 0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

= (1 — a )² — (a ² — 2а — 3) = 4.

Находим корни уравнения (5):

х ₁ =а + 1, х ₂ = а — 3.

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась

область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х ₁ +1=0, х ₁ +2=0, х ₂ +1=0, х ₂ +2=0.

Если х ₁ +1=0, т. е. (а +1)+1=0, то а= — 2. Таким образом, при а= — 2 х ₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х ₁ +2=0, т. е. (а +1)+2=0, то а= — 3. Таким образом, при а= — 3 x ₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х ₂ +1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а= 2. Таким образом, при а= 2 х ₂ — посторонний корень уравнения (4)'.

Если х ₂ +2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а =1. Таким образом, при а= 1 х ₂ — посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

только х ₂ только х ₂ корней нет только х ₁ только х ₁

х _1,2 х _1,2 х _1,2 х _1,2 х _1,2 х _1,2

-3 -2 0 1 2 а

В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х = — 3 — 3= — 6;

при a = — 2 х = — 2 — 3= — 5; при a =1 х = 1+1=2; при a=2 х =2+1=3.

Итак, можно записать

От в ет: 1) если a = — 3, то х = — 6; 2) если a = — 2, то х = — 5; 3) если a =0, то корней нет; 4) если a = l, то х =2; 5) если а=2, то х =3;

6) если а ≠ -3 ;

а ≠ -2 ;

а ≠ 0 ; то х ₁ = а + 1,

а ≠ 1 ; х ₂ = а – 3.

а ≠ 2,

Иррациональные уравнения с параметрами.

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

П р и м ер . Решить уравнение х - = 1. (6)

Решение:

Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

= х – 1 (7)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

2 х ² – 2х + (1 - а ) = 0, D = 2а – 1.

Особое значение : а = 0,5. Отсюда :

1) при а > 0,5 х _1,2 = 0,5 ( 1 ± );

2) при а = 0,5 х = 0,5 ;

3) при а <0,5 уравнение не имеет решений.

Проверка:

1) при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).

2) при подстановке х₁ = 0,5 ( 1 ± ) в (7) получим:

-0,5 ( 1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - ))²

Так как левая часть равенства отрицательна, то х₁ не удовлетворяет исходному уравнению.

3) Подставим х ₂ в уравнение (7):

=

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенство при условии, что

Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х₂ может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х₂ – корень уравнения при а ≥1.

Тригонометрические уравнения.

Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sinx и y = cosx. Рассмотрим примеры.

Пример . Решить уравнение: cos =2а .

Решение: Так как Е (соst )=[-1; 1], то имеем два случая.

1. При |a | > 0,5 уравнение не имеет решений.

2. При |a | ≤0,5 имеем:

а ) =arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а +2π n ≥0, то n может принимать значения n =0, 1, 2, 3,.... Решением уравнения является х = 1+(2π n +аrссоs2а )²

б) =-аrссоs2а +πn . Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а +2πn >0, то n =1, 2, 3,..., и решение уравнения. х =1+(2πn -arccos2a )² .

Ответ: если |a | > 0,5, решений нет;

если |a | ≤0,5 , х = 1+(2π n +аrссоs2а )² при n = 0, 1, 2,... и х =1+(2πn -arccos2a )² при n N.

Пример . Решить уравнение: tgax ² =

Решение: .

ах ² = +π n , n Z

Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:

1. Если а =0, то уравнение не имеет решений.

2. Если а 0, то х ² = , n Z

Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n

и а выполняется это условие:

≥0

откуда n ≥ и а > 0 или n ≤ и а < 0.

Итак, уравнение имеет решение х = ± , если

1) а > 0 и n = 1,2,3,… или

2) а < 0 и n Z .

Ответ: при а = 0 решений нет;

при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n Z х = ± .

Пример. Решите уравнение: а sinbx = 1

Решение: Особое значение параметра а : а = 0.

1. При а = 0 решений нет.

2. При а 0 sinbx = . Имеем 2 случая:

2.1. Если > 1, то решений нет.

2.2. Если ≤ 1, то особое значение b = 0:

2.2.1. Если b = 0, то решений нет.

2.2.2. Если b 0, то х =

Ответ: при а = 0 или > 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет;

при а 0 и ≤ 1 и b 0 х =

Показательные уравнения с параметрами.

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а ^{f ( x)} = b^{φ(х )} (*), где а > 0, b > 0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f( x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D .

2) При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D .

3) При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D .

4) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D .

5) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению

log_c a ^{f( x)} = log_c b ^{φ( x)} (c > 0, c ≠ 1) на области D .

Пример. Решите уравнение: а ^{х + 1} = b ^{3 – х}

Решение. ОДЗ уравнения: х R , а > 0, b >0.

1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.

2) При а = b = 1, х R.

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b ^{3 – х} = 1 или 3 – х = 0 х = 3.

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а ^{х + 1} = 1 или х + 1 = 0 х = -1.

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1.

6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение

по основанию а, получим:

, х + 1 = ( 3 – х ) log_a b ,

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

при а = b = 1, х R;

при а = 1, b ≠ 1 х = 3.

при а ≠ 1, b = 1 х = -1

при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)

Логарифмические уравнения с параметром.

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2 – log(1 + х ) = 3 log_а - log( х ² – 1 )²

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log_а а ² + log( х ² - 1) = log_а ()³ + log_a ,

log_а ( а ² (х ² - 1)) = log_а (()³ ),

а ² (х ² - 1) = (х - 1) ,

а ² (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1)

а ² =

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а ⁴ (х + 1) = х – 1 а ⁴ х + а ⁴ = х – 1 х ( 1 - а ⁴ ) = а ⁴ + 1

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

,

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а ⁴ > 0, то есть при

а < 1.

Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1

ГЛАВА 2

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания:

1) При каком р уравнение х ² – 2х + 1 = р имеет один корень ?

2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения

х ² + ( р ² + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?

В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.

Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.

На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:

1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.

2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.

3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.

Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:

Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных

уравнений с параметрами.

Занятие№4. Тест

Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№7. Решение показательных и логарифмических

уравнений с параметрами.

Занятие№8. Тест

Занятие№1

Занятие№2

Занятие №3

Занятие № 4.

Вариант I.

Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.

а) при k=-2 корней нет; при k=-2 ;

б) при k-2 корней нет; при k=-2 ;

в) при k=-2 корней нет; при k=-2 и k=0,25 .

Решите уравнение 2а( а - 2)х = а² – 5а+6 относительно х

а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 .

При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.

а) b<1 ; б) b>1 ; в) b=1

При каких значениях а парабола у = ах² – 2х +25 касается оси х?

а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.

При каких значениях k уравнение (k - 2)x² = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?

а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .

Решите относительно х уравнение

а)при b+1, b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

б)при b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

в)при b=; при b=±1 нет смысла.

При каких значениях параметра а уравнение имеет решение

а) а≥ 3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0

При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25<а≤ 0 ; в) –0,25<а< 0

При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?

а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с( - ∞ ; -1,5√3)

Вариант II.

Решите уравнение 2х( а+1)= 3а(х+1)+7 относительно х.

а) при а=-2 корней нет; при а-2 ;

б) при а-2 корней нет; при а=-2 ;

в) при а-2 и а- корней нет; при а=-2 .

Решите уравнение (а ² - 81)х = а² + 7а - 18 относительно х

а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 и а9 ;

б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а-9 и а9 ;

в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 ;

При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет отрицательное решение?

а) b<3 ; б) b<2 ; в) b>3

При каких значениях k уравнение kx² – (k - 7)x + 9 =0 имеет два равных положительных корня?

а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49 .

При каких значениях а уравнение ax² - 6x+а = 0 имеет два различных корня?

а) а( - 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а( - 3 ; 3) ; в) с( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)

Решите относительно х уравнение

а)при а1,а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

б) при а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

в) при а1, а-0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.

При каких значениях параметра а уравнение имеет решение ?

а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6

При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1

При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?

а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с( - ∞ ; -1,5√3)

Занятие №5-6

Занятие №7

Занятие №8.

Вариант I.

Решите уравнение 3 cosx = 4b + 1 для всех значений параметра.

а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos; при b (-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;

б) приb [ -1; 0,5 ] х = ± arcos; при b (-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;

в)b (-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;

Найдите все действительные значения параметра а , при которых уравнение sin² x – 3sinx + a =0.

а) a [ -4; 2 ] ; б) а ( -4 ; 2) ; в) а [ - 4; 2 ).

При каких значениях а уравнение cos⁴ x + sin⁴ x = a имеет корни?

а) a [ 0,5; 1 ] ; б) а [ -1 ; 0,5 ] ; в) а [ - 0,5; 1 ).

Решите уравнение

а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, а 1 х = 2; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а > 0 х R ; при а = 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.

в) при а = 1 х R ; при а > 0, а 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.

При каких значениях параметра уравнение 4^х – а 2^{х +1} – 3а ² + 4а = 0 имеет единственное решение?

а) 2; б) 1 ; в) -1.

Решите уравнение log_a x ² + 2 log_a ( x + 2) = 1.

а) при а ≤ 1 х = 0,5( 2+ ) ; при а =100 х = 1.

б) при а > 100 реш. нет; при 1<a <100 х = 0,5( 2+ ); при а =100 х = 1;

при а ≤ 1 не имеет смысла .

в) при а > 100 реш.нет ; при 1<a <100 х = 0,5( 2+ ) ;

при а ≤ 1 не имеет смысла .

7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень 1+ log₂ (ax ) = 2 log₂ (1 - x )

а) а > 0, а = 2 ; б) а > 0, а = - 2 ; в) а < 0, а = - 2 .

Решите уравнение а > 0, а 1

а) а ; ; б) а² ; - ; в ) а² ;

Вариант II.

Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.

а) при |b | ≤ 1 х = ; при |b | > 1 реш.нет;

б) при |b | ≤ 1 и b =0 х = ; при |b | > 1 реш.нет;

в)при |b | > 1 х = ; при |b | < 1 реш.нет;

Найдите все действительные значения параметра а , при которых уравнение cos2 x + a sinx =2 a -7.

а) a ( 2 ; 6 ) ; б) а ( 2 ; 4 ] ; в) а [ 2 ; 6 ].

При каких значениях а уравнение cos⁶ x + sin⁶ x = a имеет корни?

а) a [ 0,25; 0,5 ] ; б) а [ 0,25 ; 1 ] ; в) а [ - 0,25; 1 ].

Решите уравнение

а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а = 1 х R ; при а > 0, а 1 х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.

в) при а > 0х R ; при а = 1 , х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.

При каких значениях параметра уравнение а( 2^х + 2^-х ) = 5 имеет единственное решение?

а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) –2,5.

Решите уравнение 3 lg (x – а ) - 10 lg ( x - а )+1 = 0.

а) х = а + 1000, х = а + ³ √10 ;

б) х = а - ³ √10 , х = а –1000 ;

в) х = а - ³ √10 , х = а + 1000 .

7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень

а) 4 ; б) - 4 ; в) - 2 .

Решите уравнение а > 0, а 1

а) -1 ; а ; б) 1 ; - а ; в ) 1 ; а

Заключение.

При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.

Литература.

1. С.И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. Москва-1962.
2. Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998.
3. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" №36/2001; №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.