| Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева
Кафедра Радиоуправления
Пояснительная записка к курсовой
работе по курсу
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
на тему
Пропускная способность канала.
Выполнил студент гр.5313
Алмазов А.И.
Руководитель: _____________
Оценка _____________
Комиссия ________ ( _______ )
________ ( _________ )
________ ( _________ )
Казань 2002
Оглавление.
1. Задание…………………………………………………………………..3стр.
2. Введение…………………………………………...……………………4стр.
3. Теоретическая часть…………...……………………………………….5стр.
4. Практическая часть………………………………..…………………..11стр.
5. Заключение………………………………………………..…………...14стр.
6. Литература…………………………………………….……………… 15стр.
Задание.
В канале действует аддетивный белый гаусовский шум. Отношение сигнал/шум (Pc
/Pш
) меняется с 25 до 15 дБ, с шагом 1дБ. F=1,5 кГц; Vк
=8*103
сим/с.
Рассчитать:
1) Изменение пропускной способности канала.
2) Изменение избыточности κ двоичного кода, необходимой для сведения ошибки декодирования к сколь угодно малой величине.
Построить графики зависимостей с=f(Pc
/Pш
) и κ= f(Pc
/Pш
).
Введение.
Поставленная задача интересна тем, что мы сможем проследить изменение пропускной способности канала с изменением отношения сигнал/шум . Можно определить пропускную способность С канала в расчете на один символ
Ссимвол
=maxI
(A,B),бит/символ
или в расчете на единицу времени (например, на секунду):
С=maxI
’(A,B)=u Ссимвол
, биит/с.
В данном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого мы воспользуемся формулой определяющей пропускную способность канала в расчете на единицу времени.
С=Fk
log2
(1+Pc/Pш),
А для того чтобы определить избыточность передаваемой информации воспользуемся теоремой Шеннона. При условии если теорема Шеннона будет выполняться, то избыточность κ будет равняться 0, значит информация передаётся без потерь. Если нет, то κ будет больше нуля (κ>0). Т.е. чем меньше величина κ, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.
Теоретическая часть.
Пропускная способность канала связи.
В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость определяется по формуле:
I’(А,В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А). (1)
Величина H
(A
|B
) - это потери информации при передаче ее по каналу. Ее также называют ненадежностью
канала. H
(B
|A
) - энтропия шума
; показывает, сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала по каналу иллюстрирует рис. 1.
Рис. 1. Передача информации по каналу с помехами
Здесь I
’(A
,B
)=v
*I
(A
,B
) - скорость передачи информации по каналу.
Как видно из формулы (1), эта скорость зависит не только от самого канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не может характеризовать канал как средство передачи информации.
Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени u символов из алфавита объёмом m. При передачи каждого символа в среднем по каналу проходит количество информации
I
(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A), (2)
где А и В- случайные символы на входе и выходе канала. Из четырёх фигурирующих здесь энтропий Н(А)- собственная информация передаваемого символа определяется источником дискретного сигнала и не зависит от свойств канала. Остальные три энтропии в общем случае зависят как от источника сигнала, так и от канала.
Величина I
(A
,B
) характеризует не только свойства канала, но и свойства источника информации. Пусть на вход канала можно подавать сигналы от различных источников информации с различными распределениями P
(A
). Для каждого источника I
(A
,B
) примет свое значение. Максимальное количество информации
, взятое по всевозможным Р
(А
), характеризует только канал и называется пропускной способностью
(ПС) канала в расчете на один символ:
бит/символ,
где максимизация производится по всем многомерным распределениям вероятностей Р(А).
Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицу времени:
бит/с, (3)
где v - количество символов, переданное в секунду.
В качестве примера вычислим пропускную способность дискретного симметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного перехода - p
.
Рис. 2. Модель двоичного симметричного канала без памяти
Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать: С
сим
=max(H
(B
)-H
(B
|A
)). Распишем H
(B
|A
). Исходя из условий задачи вероятность правильной передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность ошибочной передачи одного символа p
/(1-m
), где m
- число различных символов, передающихся по каналу. Общее количество верных передач - m
; общее количество ошибочных переходов - m
*(m
-1). Отсюда следует, что:
.
Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения вероятности в ансамбле А, а определяется только переходными вероятностями канала. Это свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.
Максимальное значение Н
(В
)=log m
. Отсюда следует:
. (4)
Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу времени:
. (5)
Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в двоичных единицах в единицу времени
С=u[1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)] (6)
Зависимость С/u от р согласно (6) показана на рис.3
рис.3 Зависимость пропускной способности двоичного симметричного канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.
При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2 последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют обрывом канала
.
Пропускная способность непрерывного канала связи.
Вычисляется аналогично пропускной способности дискретного канала. Непрерывный сигнал дискретизируется во времени с помощью отсчетов согласно теореме Котельникова и информация, проходящая по каналу за время Т
, равна сумме количества информации, переданной за один отсчет. Поэтому общая ПС канала равна сумме ПС на один такой отсчет:
, (7)
где U
- переданный сигнал; Z
- сигнал на выходе канала с наложенными на него шумами; N
- шум; Z
=U
+N
.
Пусть U
и N
- случайные величины с плотностью распределения вероятности w
, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Для таких сигнала и шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]:
.
Отсюда следует:
.
ПС в расчете на секунду будет равна:
, (8)
поскольку при дискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну секунду мы получим 2F
отсчетов, где F
- верхняя частота спектра сигнала.
Подчеркнем, что формула (8) имеет такой вид только при условии, что плотности распределения вероятностей w
(U
) и w
(N
) подчиняются нормальному закону.
Формула (8) имеет важное значение, т.к. указывает на зависимость ПС канала от его технических характеристик - ширины полосы пропускания и отношения мощности сигнала к мощности шума.
Чтобы выяснить как зависит пропускная способность от ширины полосы пропускания выразим мощность шума в канале через его одностороннюю спектральную мощность N
0
.
Имеем Рш
=N0
F; поэтому
С=F*log(1+ Pc/N0
*F )=F*loge*ln(1+Pc/N0
*F) (9)
При увеличении F пропускная способность С, бит/с, сначала быстро возрастает, а затем асимптотически стремится к пределу:
C∞
=Lim(Pc/N0
)*loge (10)
Результат (10) получается очень просто, если учесть, что при |e|<<1 ln(1+e)»e. Зависимость С и F показана на рис.4.
 F N0
/Pc
рис.4 Зависимость нормированной пропускной способности гауссовского канала от его полосы пропускания.
Теорема кодирования для канала с помехами.
Это основная теорема кодирования К. Шеннона. Применительно к дискретному источнику информации она формулируется так:
Теорема
. Если производительность источника сообщений H
’(A
) меньше пропускной способности канала С
: H
’(A
)<С
, то существует такой способ кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе канала) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе), при котором вероятность ошибочного декодирования и ненадежность канала H
(A
|A
*
) могут быть сколь угодно малы. Если же H
’(A
)>С
, то таких способов кодирования и декодирования не существует.
Модель:
    Н(А) Н’(В)
Н’(А)<с Если же Н’(А)>с, то такого кода не существует.
Теорема указывает на возможность создания помехоустойчивых кодов.
Н’(А)< Н’(В)
Н’(В)=Vk
H
Декодер выдаёт на код каналов Vk
символов в секунду. Если в канале потерь нет, то Vk
=с.
При Н<1 будет тратится больше одного бита на символ, значит появляется избыточность, т.е. не все символы несут полезную информацию.
Делаем вывод, что смысл теоремы Шеннона заключается в том, что при H
’(A
)>С
невозможна безошибочная передача сообщений по данному каналу, если же H
’(A
)<С
, то ошибки могут быть сведены к сколь угодно малой величине. Таким образом, величина С
- это предельное значение скорости безошибочной передачи информации по каналу
Практическая часть.
Пропускная способность гауссовского канала определяется [1, стр.118]:
.
Отношение сигнал/шум падает по условию задания с 25 до 15 дБ. Поэтому С также будет уменьшаться. Необходимо уменьшать С/Ш с 25 до 15 дБ с шагом 1 дБ и вычислить по формуле 11 значений С. При этом надо учесть, что в формуле отношение С/Ш - P
c
/P
ш
- дано в разах, поэтому данные в дБ необходимо пересчитать в разы: ; отсюда .
С помощью программы MathCAD получили результаты подсчётов:
С1
=1,246*104
бит/с
С2
=1,197*104
бит/с
С3
=1,147*104
бит/с
С4
=1,098*104
бит/с
С5
=1,048*104
бит/с
С6
=9,987*103
бит/с
С7
=9,495*103
бит/с
С8
=9,003*103
бит/с
С9
=8,514*103
бит/с
С10
=8,026*103
бит/с
С11
=7,542*103
бит/с
Производительность кодера H
’(B
)=v
к
*H
(B
) должна быть меньше пропускной способности канала С, иначе неизбежны потери информации в канале. Максимальное значение энтропии двоичного кодера H
max
=H
(B
)=log2=1 бит. Если С уменьшается, то для избежания потерь информации можно уменьшать H
(B
) так, чтобы H
’(B
) оставалась все время меньше С. Если же H
(B
)<1, это означает, что кодовые символы не равновероятны и зависимы друг от друга, т.е. используется избыточный (помехоустойчивый) код. Избыточность этого кода вычисляется по формуле:
. (11)
Итак, пропускная способность канала С определяет предельное значение производительности кодера H
’(B
): H
’(B
)<C. Отсюда находим предельное значение энтропии кодера:
По условию Vk
=8*103
сим/с
В численном виде это выглядит так:
С/Vk
1=1,558 бит/сим
С/Vk
2=1,496 бит/сим
С/Vk
3=1,434 бит/сим
С/Vk
4=1,372 бит/сим
С/Vk
5=1,31 бит/сим
С/Vk
6=1,248 бит/сим
С/Vk
7=1,187 бит/сим
С/Vk
8=1,125 бит/сим
С/Vk
9=1,064 бит/сим
С/Vk
10=1,003 бит/сим
В этих случаях энтропию Н(В) можно брать любой, вплоть до максимальной (Hmax
=1 бит/сим).
С/Vk
11=0,943 бит/сим
Т.к. в 11-ом случае условие H
’(B
)<C не выполняется, то теорема Шеннона так же не выполняется. Для того чтобы избежать потерь информации, вводим избыточные символы.
Следующим шагом будет вычисление избыточности κ кода, по формуле (11):
κ=0,057
Чтобы было более наглядно, построим графики зависимостей с=f(Pc
/Pш
) и κ= f(Pc
/Pш
).
График зависимости с=f(Pc
/Pш
) :
  
График зависимости κ= f(Pc
/Pш
).
Заключение.
В результате проведённой работы, мы можем сделать вывод, что с уменьшением отношения сигнал/шум пропускная способность канала также уменьшается, что приводит к потери информации. Для того чтобы избежать возникновение ошибок, мы вводили избыточные символы. Избыточность этого кода κ=0,057.
Сделаем вывод, что в результате проведенного расчета поставленная задача была полностью решена.
Литература.
1. Зюко А.Г., Кловский Д.Д. и др. Теория передачи сигналов. -М.: Радио и Связь, 1986.
2. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. -М.: Радио и связь, 1990.
3. Методическое пособие по курсовой работе ТЭС.
|
