А.Н. Зубков, Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры
Пусть G простая алгебраическая группа одного из трех классических типов - B, C, D, над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики. Группа G=G(n) канонически вложена в GL(n) для подходящего n [8]. Рассмотрим диагональное действие группы G на  - m экземплярах пространства  матриц M(n) сопряжениями. Возникает интересная задача - описать кольцо инвариантов In,m=K[M(n)m]G(n) . В предлагаемой работе будет доказано, что имеет место естественный эпиморфизм  , который индуцирован каноническим отображением  , где  тогда и только тогда, когда  , или  (для симплектического случая определение другое, здесь зануляются все элементы вне "центрального" -блока). На остальных местах отображение тождественно.
Все необходимые сведения о модулях с хорошей фильтрацией (кратко модули с ХФ), можно найти в [5].
Мы будем использовать идею доказательства теоремы 2 из [5]. Пусть  .
Cлучай B, D. Мы будем предполагать, что  . Подходящим образом изменяя базис, мы можем считать, что  . Более того, так как действие сопряжениями, то можно полагать даже, что  .
Пара аффинных G-многообразий  (G - произвольная редуктивная группа) называется хорошей, если K[W] и IV - G- модули с ХФ. Здесь IV - это идеал  . Пусть W=M(n), V= C(A)=CG(A), где  . Наша задача сейчас - показать, что  и, что  - хорошая пара.
Нетрудно проверить, что g-1Ag = En + (a-1)(xij), где xij = g1ig1j, g=(gij), En - единичная матрица. Обозначим через M(n)r множество матриц ранга  , а через S - подпространство симметрических матриц в M(n).
Лемма 1. Класс сопряженности V совпадает с  , где T - это множество всех матриц, удовлетворяющих условиям  .
Обозначим множество  через L
Доказательство. Легко проверить непосредственно, что M(n)1 совпадает с множеством матриц вида (xiyj), где  независимо пробегают все векторы из n-мерного векторного пространства E(n). Пусть  и лежит в  . Тогда xiyj = yixj. Найдутся xi0 и yj0 не равные нулю, ведь  . Тогда из xi0yj0 = yi0xj0 следует, что  . Далее, если xi =0, тогда xi0yi= yi0xi =0, то есть yi=0 и наоборот. Другими словами, xi =0 тогда и только тогда, когда yi =0. Более того, для ненулевых коэффициентов отношение xi/yi является константой. Обозначим ее t. Переходя к параметрам xi'=t-1/2xi=yi'=t1/2yi, можно предполагать, что xi=yi для всех i. Подставляя в уравнения определяющие T и используя то, что , мы получим, что  . Достроим cистему из одного вектора x до ортонормированного базиса пространства E(n) и расположим векторы этого базиса столбцами (причем x - первый) в матрице g. Ясно, что  , и g-1Ag = En + (a-1)z. Таким образом,  . Обратное включение очевидно.
Поскольку  , то мы можем воспользоваться леммой 1 ( ) [7] и заключить, что  , если докажем, что  нормальное многообразие. Cдвиг и умножение на (ненулевой) скаляр - гомеоморфизмы, поэтому достаточно показать, что нормально L. Пусть Sn - единичная сфера в E(n). Из сказанного выше ясно, что отображение из Sn в L по правилу  является доминантным. В частности, мы имеем вложение  . Образ этого вложения порожден элементами xixj. Алгебра  имеет градуировку  , где R0 - подпространство, натянутое на мономы четной степени, а R1 - нечетной. Элемент  однороден относительно этой градуировки, поэтому  "наследует" градуировку R. Будем обозначать ее теми же символами. Заметим еще, что K[L]=R0. Ранг якобиана  равен 1 по крайней мере на  , и  . По критерию Серра ([6] , теорема 5.8.6), K[Sn] нормально ( ). Пусть теперь  - целый над R0. Так как  , то  и  . Следовательно,  , то есть  , откуда z1=0.
Согласно предложению 6.7 [2], чтобы доказать, что  ( отождествляется с  , где ZG(A) - централизатор элемента A, достаточно проверить, что дифференциал  сюръективен. Однако  . Используя формализм с двойными числами [8], имеем:  . Таким образом,  . Отсюда ясно, что образ  имеет ту же размерность n-1. Итак,  . Отметим еще для дальнейшего, что ZG(A) состоит из матриц, у которых правый "нижний"  -угол - это произвольная матрица из G(n-1), а в первом столбце и первой строке везде стоят нули, кроме начала, где коэффициент равен  .
По тем же соображениям, что и выше, осталось показать, что (M(n), L) - хорошая пара. Согласно лемме 1.3(a) [4], можно рассмотреть "башню"  и проверить каждый "скачок". Рассмотрим сначала  . Мы имеем коммутативную (все морфизмы G-эквивариантны) диаграмму:
 где вертикальные стрелки - это просто включения. Переходя к координатным алгебрам, мы получим "дуальную" диаграмму:
В первой диаграмме горизонтальные стрелки - G-доминантные морфизмы, поэтому во второй - вложения. Отсюда ясно, что  можно отождествить с  (в принятых выше обозначениях). Здесь I - идеал, порожденный элементом f. Из тех же градуировочных соображений ясно, что  . Осталось отметить, что f G-инвариант и, следовательно, G-модуль  изоморфен R0. То, что R0 с ХФ, будет следовать из того, что  - хорошая пара.
Пусть теперь  по правилу  . Ясно, что  -эквивариантное отображение, где K* = GL(1) действует по правилу  . Напомним, что отображение G-многообразий  называется факторным, если  сюръективно и  . Хорошо известно, что K*-факторное отображение [4]. Обозначим через  . Покажем, что (U, B) - хорошая пара. Функтор ограничения переводит GL(n)-модули с ХФ в G-модули с ХФ. Алгебра  изоморфна  как  -модуль (Kl - это одномерный K*-модуль с весом l). Хорошо известно, что GL(n)-модуль Sk(E(n)) с ХФ [9]. По теореме Донкина-Матье, K[U] -модуль с ХФ. Заметим, что достаточно доказывать наличие ХФ только относительно G. Представим алгебру K[U] в виде  . Отождествление происходит по правилу  , где  - стандартный базис E(n), а f1,f2 - E(2). Cогласно [1],  имеет  -фильтрацию c факторами  , где  - функтор Шура,  пробегает все разбиения с  . Нетрудно заметить, что идеал, порожденный xiyj-xjyi, совпадает с той частью фильтрации, где  . Поскольку  без кручения [3], то  . В частности, IB с ХФ как G-модуль, а значит, и как -модуль. В итоге многообразия U, B, Z удовлетворяют условиям предложения 1.4(a) из [4]. А это значит в частности, что  - хорошая пара. Осталось заметить, что (M(n), M(n)1) - хорошая GL(n)-пара по [4]. Согласно сказанному выше, это также хорошая G-пара. В частности, хорошей G-парой будет  , что и требуется.
Случай C. Здесь доказательство аналогично ортогональному случаю. Мы только вкратце повторим основные моменты, указав отличие от рассмотренного выше. Матрица A остается той же самой. При этом у элементов группы ZG(A) первые и последние строки и столбцы нулевые, кроме элементов на диагонали, которые взаимно обратны и пробегают K*. Кроме того, "серединный"  -квадрат лежит в G(n-2)=Spn-2(K). Далее, легко проверить, что класс сопряженности C(A) совпадает с En + (a-1)L, где  . В частности, он уже замкнут. Проверка того, что  отождествляется с факторным  совершенно аналогична. Здесь  , образ Lie(G) состоит из матриц того же вида, что и в ортогональном случае, только коэффициенты первой строки и первого столбца никак не связаны друг с другом и поэтому размерность образа тоже равна 2n-2. Наконец, (M(n), L) - очевидно хорошая пара. Достаточно рассмотреть башню  и использовать то, что tr(x)-1 - G-инвариант! Заметим еще, что в симплектическом случае характеристика поля произвольна.
Пусть теперь G - любая группа типа B, D, C. Дословно повторяя доказательство теоремы 2 из [5], мы получим эпиморфизм  , индуцированный  (на остальных общих матрицах отображение тождественно). Разбив матрицы из M(n) на блоки в соответствии с блочным "строением" группы ZG(A), мы видим, что пространство M(n) изоморфно (так как ZG(A)-многообразие)  в ортогональном случае и  в симплектическом. Здесь K и K4 тривиальные модули, а на En-1 (соответственно на En-2) ZG(A) действует как G(n-1) (G(n-2)) c точностью до умножения на скаляр. Отсюда ясно, что каноническое отображение  ( ), даст эпиморфизм  ( ). Пусть Rn,m - Q-алгебра, порожденная следами от всевозможных произведений общих матриц, или транспонированных к ним (в случае C - симплектически транспонированных).
Лемма 2. Суперпозиция описанных выше отображений - это просто  и затем - каноническое на остальных матрицах.
Доказательство. К сожалению, размеры статьи, допустимые в данном журнале, не позволяют нам привести полное доказательство. Поэтому мы просто отметим здесь, что In,m порождается элементами из  После этого утверждение леммы очевидно, ведь произведение матрицы A на матрицы Xi(n), у которых приравнены нулю коэффициенты левого верхнего "угла" (или "окаймления" в случае C), дает тот же результат, что и произведение единичной матрицы.
В силу сделанного выше замечания о порождающих In,m специализация отображает In,m+1 в In,m. Отсюда уже легко получается основная теорема.
Теорема. Каноническое отображение алгебры K[M(n)m] в K[M(n-1)m] ( в случае C) индуцирует эпиморфизм колец инвариантов.
Список
литературы
Akin K., Buchsbaum D.A., Weyman J. Shur functors and Shur complexes// Adv. in Math. Vol.44. P.207-278 (1982).
Борель А. Линейные алгебраические группы. M.: Мир., 1972.
De Concini C., Procesi C. A characteristic free approach to invariant theory// Adv. in Math. 1976. Vol.21. P. 330-354.
Donkin S. The normality of conjugacy classes of matrices// Inv. Math., Vol.101. P.717-736 (1990).
Donkin S. Invariants of several matrices// Invent. Math. Vol.110. P.389-401 (1993).
Grotendick A., Dieudonne J. Elements de geometrie algebriques// Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math. 4. 1960-1967.
Grosshans F. Observable subgroups and Hilbert's fourteenth problem// Am.J. Math. 95. P.229-253 (1973).
Humphreys J.E. Linear algebraic groups/ Springer Verlag. 1975.
Zubkov A.N. Endomorphisms of tensor products of exterior powers and Procesi hypothesis// Commun. in Algebra. 22(15). 6385-6399 (1994).
|
