Поверхности второго порядка
– это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
1.
Эллипсоид.
 Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
:
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy.
Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h
, где h
– любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
 (2)
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h
.
1) Если  > c
(c>0), то  и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h
с данным эллипсоидом не существует.
2) Если  , то 
и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c
) и (0; 0; - c
) (плоскости  касаются эллипсоида).
3) Если  , то уравнения (2) можно представить в виде
откуда следует, что плоскость z=h
пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями  и  . При уменьшении  значения  и  увеличиваются и достигают своих наибольших значений при  , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy
получается самый большой эллипс с полуосями  и  .
Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz
и Oyz
.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c
называются полуосями
эллипсоида. В случае a=b=c
эллипсоид является сферо
й
.
2.
Однополосный гиперболоид.
 Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
 (3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy
(
y=0)
и
Oyx (x=0).
Получаем соответственно уравнения
 и 
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy
.
Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
 или  (4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями  и  ,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
3.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
 (5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
 и 
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
 или  (6)
из которых следует, что при  >c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями  и  . При увеличении  величины a* и b* тоже увеличиваются.
При  уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости  касаются данной поверхности).
При  уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
4.
Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
 (7)
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
 и 
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
 или (8)
из которых следует, что при  плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями  и  . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскостьz=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
5.
Гиперболический параболоид.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением
 (9)
где p>0, q>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
 (10)
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.
рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
из которых следует, что при любом h в сеченииполучается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения
 или 
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых
 и 
точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
6.
Конус второго порядка.
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
  (11)
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
 и 
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые
 и 
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим
 или 
из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями  . При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.
При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).
C
писок использованной литературы
:
1.Шипачёв В.С.:”Высшая математика”
|
