Андреев А.А., Савин А.Н.
Антье и ее свойства
Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначается целая часть x символом "[x]". Далее целую часть x будем также называть "антье" (от франц. entire -целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5.
Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается "{x}" и определяется следующим образом: {x} = x-[x]. Так {3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0, {-5}=0. Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное неравенство:0 Ј {x} < 1.
Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.
1. Если x і 0, то [x] і 0. Если x < 0, то [x] < 0.
2. Если p - целое число, то [x+p] = [x]+p.
Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p} = {x} следует x+p-[x+p] = x-[x], откуда получаем [x+p] = [x]+p.
3. Для любых двух действительных чисел a и b справедливо [a+b] і [a]+[b].
Действительно, a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Следовательно, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] и [b] - целые числа, то по свойству 2
[a+b] = [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] і [a]+ [b],
потому что {a}, {b} і 0 и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0.
Свойство 3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:
[a+b+...+w] і [a]+[b]+...+ [w].
4. Если [x] = [y], то |x-y| < 1.
Так как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |x-y| = |[x]+{x}-[y]-{y}| = |{x}-{y}| <1. Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше -1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда |x-y| < 1.
5. Если n - натуральное число, то для любого действительного x выполняется
é
ê
ë
|
[x
]
n
|
ù
ú
û
|
= |
é
ê
ë
|
x
n
|
ù
ú
û
|
. |
|
Так как x = nq+r+a, 0 Ј r < n, a = {x}, то
é
ê
ë
|
[x
]
n
|
ù
ú
û
|
= |
é
ê
ë
|
nq
+r
n
|
ù
ú
û
|
= |
é
ê
ë
|
q
+ |
r
n
|
ù
ú
û
|
= q
|
é
ê
ë
|
x
n
|
ù
ú
û
|
= |
é
ê
ë
|
nq
+r
+a
n
|
ù
ú
û
|
= |
é
ê
ë
|
q
+ |
r
+a
n
|
ù
ú
û
|
= q
. |
Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий
Пример 1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство
| [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b]. |
|
Решение.
Пусть [a+b] = [a]+[b]+e3
; [2a] = 2[a]+e1
; [2b] = 2[b]+e2
; где ei
- целое. Покажем, что e3
равно 0 или 1. Имеет место неравенство
| -1 = a+b-1-a-b < [a+b]-[a]-[b] < a+b-a+1-b+1 = 2. |
|
Отсюда получаем, что -1 < e3
< 2, откуда e3
= 0 или e3
= 1, то же верно для e1
, e2
. Рассмотрим разность
| [2a]+[2b]-[a]-[b]-[a+b] = [a+a]+[b+b]-[a]-[a+b]-[b] = |
| = [a]+[a]+e1
+[b]+[b]+e2
-[a]-[a]-[b]-e3
-[b] = e1
+e2
-e3
. |
|
Осталось показать, что e1
+e2
-e3
і 0, ei
= 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при e1
= e2
= 0 и e3
= 1. Покажем, что это невозможно. Если e1
= 0 то [2a] = 2[a], т.е. a = N+d, где N - целое, а 0 Ј d < 0,5, аналогично, b = K+l, где K - целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда [a+b] = N+K = [a]+[b], т.е.e3
= 0. Мы пришли к противоречию, следовательно [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b], что и требовалось доказать.
Пример 2. Найдите
Решение
Число Nn
= (2+Ц2)n
+(2-Ц2)n
является целым при любом натуральном n. Поэтому
lim
n®Ґ
|
{(2+Ц2)n
} = |
lim
n®Ґ
|
{Nn
-(2-Ц2)n
} = |
lim
n®Ґ
|
{-(2-Ц2)n
} = |
lim
n®Ґ
|
(1-{(2-Ц2)n
}) = 1, |
|
так как {-z} = 1-{z}, если z - не целое число, и |2-Ц2| < 1.
Пример 3. Найдите [x], если x=1+(1/2)2
+(1/3)2
+...+(1/1997)2
.
Решение
Для любого натурального числа n і 2 справедлива оценка
1
N2
|
< |
1
n(n-1)
|
= |
1
n-1
|
- |
1
n
|
. |
|
Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:
| x
< 1+ |
æ
ç
è |
1- |
1
2
|
ö
÷
ø |
+ |
æ
ç
è |
1
2
|
- |
1
3
|
ö
÷
ø |
+...+ |
æ
ç
è |
1
1996
|
- |
1
1997
|
ö
÷
ø |
= 2- |
1
1997
|
< 2. |
|
Так как 1 < x < 2, то [x] = 1.
Графики антье
Наверно вы уже где-нибудь встречали графики функции y=[x], так называемые "ступени", и y={x} - "забор"; оба графика приведены на рисунках ниже.
 <> |
 <> |
Рассмотрим общий метод построения графиков функций y=[f(x)], y=f([x]), y={f(x)}, y=f({x}).
Построение графика функции y=[f(x)].
Итак, пусть график функции y=f(x) построен (рисунок ниже слева черным цветом). Построение графика функции y=[f(x)] выполняют в следующем порядке:
 <> |
 <> |
1) проводят прямые y= n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми y=n и y=n+1;
2) точки пересечения прямых y=n, y=n+1 с графиком функции y=f(x) будут принадлежать графику функции y=[f(x)], поскольку их ординаты - целые числа; другие точки графика y=[f(x)] в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика y=f(x) на прямую y=n, поскольку любая точка этой части графика функции y=f(x) имеет такую ординату y1
, что n Ј y1
< n+1, т.е. [y1
] = n;
3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение проводится аналогично.
Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[arcsin x] выделен красным цветом).
Построение графика фунции y=f([x]).
Пусть график функции y=f(x) построен (рисунок слева ниже черным цветом). Построение графика функции y=f([x]) выполняют в следующем порядке:
 <> |
 <> |
1) проводят прямые x=n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованную линиями x=n, x=n+1;
2) точки пересечения графика функции y=f(x) с прямыми y=n принадлежат графику функции y=f([x]), поскольку их абсциссы - целые числа; другие точки графика функции y=f([x]) в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика функции y=f(x), которая находится в этой полосе, на прямую y=f(n), поскольку любая точка этой части графика имеет такую абсциссу x1
, что n Ј x1
< n+1, т.е. [x1
]=n;
3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение производится аналогично.
Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[ax]2
выделен красным цветом).
Построение графика фунции y={f(x)}.
Теперь рассмотрим метод построения графика функции y={f(x)}, а так как {f(x)}=f(x)-[f(x)], то вместо графика функции {f(x)} строят разность графиков функций y = f(x) и y = [f(x)]. График на левом рисунке выделен красным цветом.
 <> |
 |
Практически это построение выполняют так: 1) строят график функции y=f(x) и проводят прямые y=n (n ОZ);
2) в точках пересечения этих прямых с графиком функции y=f(x) проводят прямые, параллельные оси ординат. Значения функции y={f(x)} попадают в образованные прямоугольники. Части графика функции y = f(x), которые попали в эти прямоугольники и располагаются в верхней полуплоскости, опускают вниз на расстояние n. Части графика функции, попавшие в нижнюю полуплоскость переносят вверх на расстояние |n|+1.
Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа. (График функции y={ax
} выделен красным цветом).
Построение графика фунции y=f({x}).
Проще всего строятся графики функции y=f({x}). Легко заметить, что такие функции периодичны с периодом T=1, и на отрезке [0; 1] f({x})=f(x). Отсюда следует способ построения графика функции y=f({x}):
1) строят график функции y=f(x) на [0; 1);
2) продолжают этот график, учитывая свойство периодичности функции y=f({x}) и y=1/x2
.
 <> |
 |
|
