ГЛАВА#1.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
§1 ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА,
НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.
ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал,содержащий
эту точку.
ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо называется окрестность т.Хо,
из которой выброшена сама точка.
ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-
бесконечный промежуток вида (а;+ ).
ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-
бесконечный промежуток вида (- ;b).
ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух
любых окрестностей + и - .
Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности
т.Хо,если для любого числа >0 существует проколотая
окр. т.Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего
прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< .
>0 U U => ¦f(x)¦<
Число А называется пределом ф-ции f(х) в т.Хо,если
в некоторой прок.окр. этой точки ф-цию f(х) можно
представить в виде f(х)=А+ (х),где (х)-бесконечно
малое в окрестности т.Хо.
limf(x)=А
Ф-ция f(х) называется непрерывной в т.Хо,если в некоторой
окр.т.Хо эту ф-цию можно представить в виде:f(х)=f(х )+ (х),
где (х)-б.м. в окр.т.Хо.
Иными словами,f(х)-непрерывна в т.Хо,если она в этой точке
имеет предел и он равен значению ф-ции.
ТЕОРЕМА:Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке
области определения.
Схема:1.ф-я элементарна
2. определена
3. непрерывна
4. предел равен значению ф-ции
5. значение ф-ции равно 0
6. можно представить в виде б.м.
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:
Теорема#1:Единственная константа,явл-ся б.м.-0
Теорема#2:Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо,то их
сумма тоже б.м. в этой окр.
Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр.т.Хо,если сущ.
проколотая окр.т.Хо и сущ. число М>0,такие что ¦f(х)¦<М
в каждой точке прок.окр.т.Хо.
U M>0: ¦f(x)¦<M x U
Теорема#3:Если (х) -б.м. в окр.т.Хо,то она ограничена
в этой окр.
Теорема#4:О произведении б.м. на ограниченную:
Если ф-ция (х) -б.м.,а f(х) -ограниченная в окр.т.Хо,то
(х)*f(х) -б.м. в окр.т.Хо.
Теорема#5:О промежуточной б.м.:
Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо и (х)< (х)< (х)
в окр.т.Хо U ,то (х) -б.м. в окр.т.Хо.
Две б.м. называются сравнимыми,если существует предел их
отношения.
Б.м. (х) и (х) в окр.т.Хо называются одного порядка,
если предел их отношений есть число не равное 0.
Две б.м. в окр.т.Хо называются эквивалентными,если
предел их отношения равен 1.
Теорема#1:Если и -эквивалентные б.м.,то их разность
есть б.м. более высокого порядка,чем и чем .
Теорема#2:Если разность двух б.м. есть б.м. более высокого
порядка,чем и чем ,то и есть эквивалентные б.м.
Таблица основных эквивалентов б.м.:
Х_0
sinх х
е-1 х
ln(1+х) х
(1+х) -1 х
Асимптотические представления:
Х_0
sinx=x+0(x)
e =1+x+0(x)
ln(1+x)=х+0(x)
(1+x) =1+ x+0(x)
Св-во экв.б.м.:
Если (х) и (х) -экв.б.м. в окр.т.Хо,а (х) и (х) -экв.б.м.
в окр.т.Хо и сущ. lim =А,то тогда сущ. lim и он равен А.
§2 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.
Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо и lim =0,то (х)
называется бесконечно малой более высокого порядка,чем
(х). (х)=о( (х)).
Замечание:Если (х)-более высокого порядка,чем (х),
то (х)=о(k (х)),k=0
Теорема БЕЗУ:Если -корень многочлена,то многночлен
делится без остатка на (х- ).
§3 ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ,ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.
ЛЕММА об оценке ф-ции,имеющей предел отличный от нуля:
Если предел ф-ции f(х) в т.Хо равен А и А>0,то
А/2<f(х)<3А/2 в некоторой проколотой окр.т.Хо.
Замечание:Если предел А<0,то 3А/2<f(х)<А/2.
ТЕОРЕМА#1.Необходимое условие ограничиности ф-ции,
имеющей предел:
Если ф-ция f(х) имеет в точке предел,то она ограничена
в окрестности этой точки.
ТЕОРЕМА#2.Арифметические операции над ф-циями,
имеющих предел.
Если f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:
lim f(х)=А
lim f(х)=B,то
тогда 1.сущ.предел их суммы и он равен сумме пределов.
2.сущ.предел их произведения и он равен
произведению пределов.
3.если В=0,то сущ.предел отношения и он равен
отношению пределов.
ТЕОРЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ:
Т.1:Если ф-ция f(х),имеющая предел в т.Хо,больше 0,
то f(х)>0 в прокол.окр.т.Хо.
Наоборот,если f(х),имеющая предел в т.Хо,меньше 0,
то f(х)<0 в прокол.окр.т.Хо.
Т.2:Если ф-ция f(х) имеет предел в т.Хо и f(х)>0 в
некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел f(х)>0 в т.Хо.
Т.3:Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:
lim f(х)=А
lim f(х)=В и
f(х)<f(х) в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и
пределы А<В.
Т.4 о пределе промежуточной ф-ции:
Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел
А в т.Хо и ф-ция f(х)<f(х)<f(х) в некоторой прокол.
окр.т.Хо,то тогда сущ.предел f(х) и он равен А.
ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной
ф-ции:
Если ф-ция f(u) непрерывна в т.Uо,а ф-ция u= (х) имеет
предел в т.Хо,и предел ф-ции (х) равен Uо,то тогда
сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т.Хо и этот предел
равен f(Uо),т.е. предел f[ (х)] равен значению ф-ции
от предела .f[ (х)]=flim (х).
§4 О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.
ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ называется ф-ция,область
определения которой -натуральные числа.
Формула НЬЮТОНА-бинома:
(a+b)= с a b
c=n!/k!(n-k)!
c -кол-во сочетаний из n по k.
n!=1*2*3*...*n
СОЧЕТАНИЯМИ называются всевозможные подмножества данного
множества,в частности рассматривают сочетания множества
из n-элементов по k-элементов.
Замечание: 0!=1
Таблица биномиальных коэффициентов:
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
lim(1+x) =e
§5 БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ.ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В
БЕСКОНЕЧНОСТИ.АСИМТОТЫ.
Ф-ция f(х) называется бесконечно большой в окр.т.Хо,если
1/f(х) будет б.м.
Асимтоты:
Прямая Т называется асимтотой кривой L,если растояние от
т.М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда
т.М по кривой удаляется в бесконечность,т.е. когда
растояние от т.М до фиксированной т.О стремится в беско-
нечность.
Асимтоты графиков ф-ции:
Теорема#1:Для того,чтобы прямая kx+b была асимтотой при
х_+ ,необходимо и достаточно,чтобы f(х)=kx+b+ (х) при
х_+ .
Теорема#2:Для того,чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка
ф-ции f(х) при х_+ ,необходимо и достаточно существование
предела при х_+ f(х)/х=k и сущ.предела при х_+
[f(х)-kx]=b,т.е.,если хотя бы один из пределов не сущ.,то
ас-ты нет.
Исследование поведения ф-ции в окр.точки
разрыва.Классификация точек разрыва:
0:ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА-точка, в которой ф-ция имеет
предел,но не является непрерывной.
1:ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА-точка,в которой ф-ция имеет
предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны.
2:ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА-точка,которая не является
точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.
§6 ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ.
ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке,
т.к. непрер.ф-ция имеет предел,то все св-ва таких ф-ций,
имеющих предел,распространяются на непрерывные.
Свойства:если f(х) непрер.в т.Хо и f(Хо)>0,то ф-я больше
нуля в некоторой окр.т.Хо или;если f(х) и f(х) непрер.
в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке.
ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА:
Ф-ция f(х) называется непрерывной на отр.[a;b],если она
непрерыв.в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в
т.А справа и в т.В слева.
lim f(x)=f(a),lim f(x)=f(b)
ТЕОРЕМЫ КОШИ:
Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах
отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)<0),
то сущ.точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0.
Теорема#2:Если ф-ция непр. на отр.[a;b] и на концах отр.
принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого
числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ.т.С,принадлеж.отр.
[a;b],такая что f(С)=Q.
ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:
Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ.
числа m<f(x)<M в каждой точке этого отрезка (т.е.ф-я
ограничена)
Теорема#2:Если ф-ция f(х) непр.на отр.[a;b],то сущ.
точки x и x [a;b],такие что f(x )<f(x)<f(x ) в каждой
точке этого отрезка.
ГЛАВА#2:ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
§1.ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И СВ-ВА.
Отрезок AB называется направленным,если указана,какая из
точек A и B явл.началом,а какая концом.
Два направленных отрезка называются равными,если они лежат
на одной или на параллельных прямых,со-направлены и имеют
одинаковые длины,т.е.если один получается из другого парал.
переносом.
Вектором называется направленный отрезок.
Векторы называются коллинеарными,если они лежат на одной прямой
или на парал. прямых.
Векторы называются компланарными,если они лежат в одной или
парал. пл-тях.
Суммой векторов a и b называется вектор,обозначенный a+b,начало
которого совпадает с началом вектора a,а конец -с концом b,
при условии,что начало вектора b совмещено с концом а.
Произведением а на число называется вектор,обозначенный
а,такой что:
1.¦ a¦=¦ ¦*¦a¦
a=0,если =0
2. দа
দа,если >0
দа,если <0
СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:
1.Коммутативность:
Для любых а и b:а+b=b+a
замечание:отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить
как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b,
причем начало всех трех векторов совмещены.
2.Ассоциативность:
Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с)
замечание:отсюда следует,что чтобы сложить векторы а ,а ,...,а
нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора
с концом предыдущего,тогда их сумма -замыкающая.
3.Существует вектор,называемый нуль-вектор,такой что для всех а:
а+0=а.
4.Для любого а сущ.вектор,называемый противоположным,обознач.-а,
такой что а+(-а)=0
5.Для всех а:1*а=а
6.Для любого а и любых чисел и :( * )*а= ( а)= ( а)
7.Для любого а и любых чисел и :( + )*а= а+ а
8.Для любых а и b и любого числа : *(а+b)= а+ b
Разностью векторов а и b называется вектор (а+(-b))
Если даны векторы а ,а ,...,а и числа , ,..., ,то вектор
а + а +...+ а -называется линейной комбинацией векторов
а ,а ,...,а с коэффициентами , ,..., .
Множество,для элементов которого определены операции (сложения
и умножения на число),для которых справедливы выше восемь св-в
(аксиом) называется линейным пространством.
§2.Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации.
Система векторов а ,а ,...,а называется линейно зависимой,если
хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация
остальных векторов этой системы.
ИЛИ
Для того,чтобы система векторов а ,а ,...,а была линейно зависи-
мой необходимо и достаточно,чтобы существовали числа , ,..., ,
не равные 0,такие что линейная комбинация а + а +...+ а
равнялась нуль-вектору.
Система векторов называется линейно не зависимой,если она не яв-
ляется линейно зависимой,т.е. ни один вектор этой системы не яв-
ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком-
бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда
все коэффициенты равны 0.
Размерностью линейного пространства называется максимальное число
линейно не зависимых векторов.
Базисом называется линейно независимая система векторов,такая,
при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может
быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.
Теорема единственности:
Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому
базису единственно:
а= е + е + е
Если дан базис е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по
этому базису называются координатами.
а=( , , )
замечание:у одного и того же вектора в разных базисах разные
координаты.
Условие коллинеарности:
/ = / = /
замечание:если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство
нужно понимать так,что в числителе тоже 0.
Каноническое ур-е прямой:
x x /m=y-y /p=z-z /q
§3.ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ.
Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший
угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в
направлениях этих векторов.
Численной проекцией вектора а на вектор b (b=0) называется число
равное произведению модуля а на cos угла между ними.
Пр а=¦а¦*cos a,b
Св-ва: Пр (а+b)=Пр а+Пр b
Пр (ka)=kПр а
Проекцией вектора на ось называется длина отрезка АВ между
основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось.
Радиус-вектором точки пространства называется вектор,идущий в эту
точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом.
Скалярным произведением а и b называется число равное произведению
длин этих векторов на cos угла между ними.
CВ-ВА:
1.условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> а_b
2.коммутативность: (а,b)=(b,а)
3.билинейность:
3.1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b)
(а,b +b )=(а,b )+(а,b )
3.2: ( а,b)=(а, b)= (а,b)
Правило:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений
соответствующих координат.
(а,b)=x x +y y +z z
Приложения:
1.¦а¦= (а,а) = x +y +z ,если а=(x,y,z)
2.(а,b)=0<=>а_b
3.cos а,b=(а,b)/¦а¦¦b¦
4.Пр а=(а,b)/¦b¦
Направляющими косинусами углов называются cos углов,которые
вектор образует с векторами базиса i,j,k.
cos =x/¦a¦
cos =y/¦a¦
cos =z/¦a¦
cos +cos +cos =1,т.к. (x +y +z )/¦a¦=1.
§4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА.
Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Квадратной матрицей n-порядка называется матрица,у которой
число строк равно числу столбцов и равно n.
Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое
определителем матрицы.
Определителем кв.матрицы n-порядка называется число равное
алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов
матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца,
причем перед каждым произведением по определенному правилу
ставится знак "+" или "-".
Алгебраической суммой называется сумма,в которой где-то
ставится "+",а где-то "-".
Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца
образуют главную диагональ матрицы.
Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими
номерами называется транспортированием,а получившаяся матрица-
транспортированной.
СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:
1.При транспортировании матрицы ее определитель не меняется.
2.Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее
определитель умножится на -1.
3.Определитель матрицы равен сумме произведений элементов
какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
4.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы
умножить на число k, то ее определитель умножится на k.
5.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы
представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы
равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки
стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки
у всех трех определителей одинаковы.
6.Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке
(столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).
7.Если элементы одной строки умножить на соответствующие
алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0.
8.Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой-
нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки
стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные
строки совпадают со строками данного определителя.
Минором,соответствующим элементу матрицы а ,называется определитель
матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку
и столбец,в которых стоит а .
Алгебраическим дополнением элемента а называется число равное
А =М *(-1)
Достаточные признаки
равенства нулю
определителя:
1.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно
нулю,то определитель равен 0.
2.Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца),то ее
определитель равен 0.
3.Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы
которой пропорциональны,то ее определитель равен 0.
Необходимое и достаточное
условие равенства нулю
определителя:
Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и
достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.
§5.ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.
Тройка некомпланарных векторов a,b,c,начало которых совмещены,
называется правой,если кратчайший поворот от вектора а к вектору
b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В
противном случае тройка называется левой.
СВ-ВА ориентированных троек векторв:
1.Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми.
Такая перестановка называется циклической перестановкой.Т.е. при
цикл.перестановке ориентация тройки не меняется.
2.Если a,b,c -правая,то тройки b,a.c и a,c,b -левые.Т.е.,если
поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки
изменится.
Векторным произведением a и b называется вектор с,такой что:
1.если а и b коллинеарны (দb),то их векторное произведение
с=[a,b]=0.
2.если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b,
т.е.[a,b] _ пл-ти векторов а и b и [a,b] направлен в такую
сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] -правая.Длина векторного
произведения равна ¦[a,b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма,
построенного на векторах а и b.
СВ-ВО векторного произведения:
1.[a,b]=0 <=>a¦¦b.
2.Антикоммутативность:
[a,b]=[b,a],но [a,b]=-[b,a].
3.Билинейность:
3.1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b]
[a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ].
3.2:[ a,b]=[a, b]= [a,b].
¦i j k¦
[a,b]=¦x y z¦
¦x y z¦
Нормальный вектор -это вектор перпендикулярный пл-ти.
Ax+By+Cz+D=0 => n=(A,B,C)
Углом между двумя пл-тями называется угол между их нормальными
векторами.
Углом между прямой и пл-тью называется угол между прямой и ее
проекцией на пл-ть,sin этого угла равен cos ,где -угол между
направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти.
Смешанным произведением векторов a ,b ,c называется число,равное
скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на
вектор с.
([a,b],c)
Геометрический смысл
смешанного произведения:
1.Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение
равно 0.
2.Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль смешанного произведе-
ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах,
причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра-
вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая.
СВ-ВА смешанного
произведения:
1.([a,b],c)=(a,[b,c])
([a,b],c) -смешанное произведение a,b,c.
(a,[b,c]) -смешанное произведение b,c,a.
Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же
и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента-
ция троек не меняется).
Это св-во показывает,что квадратные скобки можно не ставить:
(a,b,c)=([a,b],c)
2.(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)
3.Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0
4.Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0
5.Трилинейность:
5.1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d)
5.2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c)
Вычисление смешанного
произведения:
a=(x ,y ,z )
b=(x ,y ,z )
c=(x ,y ,z )
¦x y z¦
([a,b],c)=¦x y z¦
¦x y z¦
§6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.
Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве.
У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.
Угловым коэффициентом прямой, не парал-ной оси y называ-
ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть
против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы
она стала парал-ной данной прямой.
tg =(k -k )/1+k k
Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0
Для параллельных прямых:k =k
ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
§1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
Ф-ция f(х) называется дифференцируемой в т.Хо, если ее
приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде
Q(х ) х+о( х),где о( х) -б.м., не зависящая от х, Q( х)
-б.м. более высокого порядка, чем х.
Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х
Этот предел называется производной ф-цией в точке и обозначается
f'(х ).
Производной ф-цией f(х) в т.Хо называется предел отноше-
ния приращения ф-ции к приращению аргумента х, когда
х_0.
(х )'= х
(a )'=a lna, ((e )'=e )
(log x)'=1/xlna, ((lnx)'=1/x)
sin'x=cosx
cos'x=-sinx
tg'x=1/cos x
ctg'x=-1/sin x
arcsin'x=1/ 1-x
arccos'x=-1/ 1-x
arctg'x=1/1+x
arcctg'x=-1/1+x
sh'x=chx (shx=e -e /2)
ch'x=shx (chx=e +e /2)
th'x=1/ch x (thx=shx/chx)
cth'x=-1/sh x (cthx=chx/shx)
f(x + x)-f(x )=f'(x ) x+o( x),
слагаемое f'(x ) x -линейно зависит от х, и если
f'(х)=0, то это слагаемое б.м. одного порядка с х.
Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно
называется дифференциалом ф-ции в т.Хо.
Дифференциалом дифференцируемой ф-ции в т.Хо называется
главная часть приращения, линейно зависящая от х.
df=f'(x ) x
Асимтотическое представление:
f(x + x)=f(x )+f'(x ) x+o( x)
f(x + x)=f(x )+df
§2 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
1. Если ф-ция f(x) тождественна const, то ее производная
тождественна 0.
(C)'=0
2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т.Хо, то:
1) их линейная комбинация дифф. в этой точке и
( u+ v)'= u'+ v'
2) их произведение дифф. в т.Хо и (uv)'=u'v+uv'
(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'
3) если кроме того v(x )=0, то отношение
(u/v)'=u'v-uv'/v
3. Правило дифф. сложной ф-ции.
f(u) дифф. в т.Uo, u(x) дифф. в т.Хо, u(x )=u =>
f(u(x)) -дифф. в т.Хо и (f(u(x)))'=f'(u ) u'(x )
|
