С. Берколайко
[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]
Пусть a1
, a2
, ..., an
– положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:
a1
+ a2
+ ... + an
n
|
> |
n
|
|
a1
a2
... an
|
. |
|
(1) |
Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn
и докажем его в такой форме:
| (Sn
) n
> a1
a2
... an
. |
(2) |
Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,
| a1
≤ a2
≤ ... ≤ ak
≤ Sn
≤ ak+1
≤ ... ≤ an–1
≤ an
. |
(3) |
Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство
| b |
b – a
b
|
< |
∫ |
dt
t
|
= ln |
b
a
|
< |
b – a
a
|
, |
| a |
|
(4) |
где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем
b – a
b
|
= ln |
b
a
|
= |
b – a
a
|
. |
Из (3) и (4)
Sn
– a1
Sn
|
+ |
Sn
– a2
Sn
|
+ ... + |
Sn
– ak
Sn
|
≤ ln |
Sn
a1
|
+ ln |
Sn
a1
|
+ ... + ln |
Sn
ak
|
, |
|
(5) |
или
kSn
– (a1
+ a2
+ ... + ak
)
Sn
|
≤ ln |
(Sn
)k
a1
a2
... ak
|
. |
|
(6) |
Опять-таки из (3) и (4)
| ln |
ak+1
Sn
|
+ ln |
ak+2
Sn
|
+ ... + ln |
an
Sn
|
≤ |
ak+1
– Sn
Sn
|
+ |
ak+2
– Sn
Sn
|
+ ... + |
an
– Sn
Sn
|
, |
|
(7) |
или
| ln |
ak+1
ak+2
... an
(Sn
) n–k
|
≤ |
(ak+1
+ ... + an
) – (n – k)Sn
Sn
|
. |
|
(8) |
Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)
| ln |
ak+1
ak+2
... an
(Sn
) n–k
|
≤ ln |
(Sn
)k
a1
a2
... ak
|
. |
|
(9) |
Поскольку среди чисел a1
, a2
, ..., an
есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать
| ln |
ak+1
ak+2
... an
(Sn
) n–k
|
< ln |
(Sn
)k
a1
a2
... ak
|
, |
или
ak+1
ak+2
... an
(Sn
) n–k
|
< |
(Sn
)k
a1
a2
... ak
|
, |
откуда вытекает (2).
Если же a1
= a2
= ... = an
, то, очевидно,
a1
+ a2
+ ... + an
n
|
= |
n
|
|
a1
a2
... an
|
. |
|
