Содержание работы:
1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
2. Применение теоремы Штольца:
a)  ;
b) нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты  ;
c)  ;
d)  .
3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.
4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.
Для определения пределов неопределенных выражений  типа  часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта  , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и  возрастает:  . Тогда = ,
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу  :
 .
Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет
или
 .
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби  ,  , …,  ,  лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn
вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N
 .
Напишем теперь тождество:
 ,
откуда
 .
Второе слагаемое справа при n>N становится < ; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N’
. Если при этом взять N’
>N, то для n>N’
, очевидно,  , что и доказывает наше утверждение.
Примеры:
1. Пусть, например,  . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n)  , следовательно, вместе с yn
и xn
, причем варианта xn
возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному
отношению 
(ибо здесь предел уже конечен
), откуда и следует, что  , что и требовалось доказать.
2. При а>1
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:
Если варианта an
имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn
).
Действительно, полагая в теореме Штольца
Xn
=a1
+a2
+…+an,
yn
=n,
Имеем:
Например, если мы знаем, что  ,
то и 
4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
 ,
которая представляет неопределённость вида .
Полагая в теореме Штольца
xn
=1k
+2k
+…+nk
, yn
=nk+1
,
будем иметь
 .
Но
(n-1)k+1
=nk+1
-(k+1)nk
+… ,
так что
nk+1
-(n-1)k+1
=(k+1)nk
+…
и
 .
5. Определим предел варианты
 ,
представляющей в первой форме неопределенность вида  , а во второй – вида  . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :
 .
Полагая xn
равным числителю этой дроби, а yn
– знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим
 .
Но  ,
а  ,
так что, окончательно,
 .
Пример 1.
 = = = = = =  =  = = .
Пример 2.
 =
= =
= =
= =
= =
= =
= .
Пример 3.
=
= .
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.
Теорема.
Пусть функция  , причем, начиная с некоторой xk
, g(xk
+1)>g(xk
), т.е. функция возрастающая.
Тогда ,
если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
 .
Тогда, по определению предела 
или
 .
Значит, какой бы  ни взять, все дроби
 ,  , …, 
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn
) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь  , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при
 .
Напишем тождество(которое легко проверить):
 ,
Откуда
 .
Второе слагаемое справа при становится  ; первое же слагаемое, ввиду того, что  , так же будет , скажем, для  . Если при этом взять  , то для , очевидно  , что и доказывает теорему.
Примеры:
Найти следующие пределы:
1.  очевидна неопределенность
= = =2
2.  неопределенность
= = = =0
3.  неопределенность
= = =
Литература:
1. “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.
2. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.
|
