Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e"xÎE $u: ║x-u║<e
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎE\L ║ze║=1 r(ze,L)>1-e
Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если "xÎE$uÎL: ║x-u║<e
Теорема: Чтобы L было плотно в H- ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.
Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор – Ax-Ax0 при x-x0
Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c
Теорема: A – ограниченный -"xÎX ║Ax║≤c║x║
Теорема: Для того чтобы А был непрерывен - чтобы он была ограничен
Теорема: {An} равномерно ограничена - {An}- ограничена.
Теорема: {Anx} – ограниченно - {║An║}- ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║-0, n-¥, обозначают An-A
Определение: Слабая сходимость - "xÎX ║(An-A)x║Y-0, n-¥
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость - {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: Банаха-Штенгауза An-An-¥ слабо - 1) {║An║}- ограничена 2) An-A, x’ÌX, x’=x
Теорема: Хана Банаха. A:D(A)-Y, D(A)ÌX -$ A’:X-Y 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2) ║A’║=║A║
Определение: Равномерная ограниченность - $a"x: ║x(t)║≤a
Определение: Равностепенная непрерывность "t1,t2 $d: ║x(t1)-x(t2)║<e
Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение: Ядро – {xÎX | Ax=0}
Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=L(X,E)
Определение: Сопряженный оператор A*: Y*-X*
Теорема: Банаха A:X-Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $A-1 и ограничен.
Определение: Оператор А – обратимый
Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.
Теорема: A-1 $ и ограничен -$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X-Y – линейный ограниченный функционал -$! yÎH"xÎHf(x)=(x,y)
Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно -"e>0 $ конечная e-сеть
Теорема: Арцела. MÌC[a,b] компактно - все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) - A*Îs(X*,Y*)
Линейные нормированные пространства
1. Пространства векторов
  сферическая норма
  кубическая норма
  ромбическая норма
  p>1
2. Пространства последовательностей 
   p>1
 или  пространство ограниченных последовательностей
 пространство последовательностей, сходящихся к нулю
 пространство сходящихся последовательностей
3. Пространства функций
 пространство непрерывных на  функций
 пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций
£p[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)
 - пополнение £p[a,b] (Гильбертово)
 
Неравенство Гёльдера   p,q>0
Неравенство Минковского 
|
