Шпаргалка: Ряды

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х₁ ;у₁ ) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (x_i ;y_i ) ставится в соот-е число W_i или любой точке (x_i ;y_i ) или паре чисел ставится в соот-е z_i след-но z_i =F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (х_i ;у_i ) и нашли соот-е значения z_i =F(х_i ;у_i ).

Пусть точка (х₀ ;у₀ )ÎЕ дельта окрест-ю точки (х₀ ;у₀ ) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

Ö[(х-х₀ )+(y-y₀ )] <d.

Точка (х₀ ;у₀ ) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому множеству.

Точка (х₀ ;у₀ ) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е.

Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.

Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.

Точка (х₀ ;у₀ )Î множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.

Фун 2 переменных.

Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.

Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.

Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).

Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.

Предел фун 2 переменных.

Опр: Число А наз пределом фун z= f(х;у) при х®х₀ , у®у₀ , М(х;у)®М₀ . lim_{х ®х0 (у ®у0)} f(х;у)=A

Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х₀ ;у₀ ) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х₀ )² +(y-y₀ )² ] <d. êА-f(х;у)ê<e, A-e<f(х;у)<A+e.

Основные теоремы о пределах:

1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+a_n ; lim Yn=b => Yn=b+b_n ;

Xn ± Yn = (a + a_n ) ± (b + b_n ) = (a ± b) + (a_n ± b_n ) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+a_n )/(b+b_n ) – a/b = (ab+a_n b–ab–ab_n )/b(b+b_n ) =(ba_n -ab_n )/b(b+b_n )=g_n => Xn/Yn=a/b+g_n => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М₀ (х₀ ;у₀ ) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М₀ (х₀ ;у₀ ), если имеет место равенство lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у)=f(х₀ ;у₀ ) или lim_{Dх ®0( Dу ®0)} f(х₀ +Dх;у₀ +Dу)= f(х₀ ;у₀ ), где х=х₀ +Dх и у=у₀ +Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М₀ (х₀ ;у₀ ) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x₀ ;у₀ ).

Если (х₀ ;у₀ ) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х₀ ;у₀ )–1 род.

Если (х₀ ;у₀ )–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х₀ ;у₀ ) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х₀ ;у₀ ) – 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке:1)Если фун f₁ (х;у) и f₂ (х;у) непрерывны в точке (х₀ ;у₀ ), то сумма (разность) f(х;у)=f₁ (х;у)±f₂ (х;у), произведение f(х;у)=f₁ (х;у)*f₂ (х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f₁ (х;у)/f₂ (х;у), есть непрер-я фун в точке х₀ ;у₀ .

Док-во (суммы): По определению получаем, что lim_{х ®х0(у ®у0)} f₁ (х;у)=f₁ (х₀ ;у₀ ), lim_{х ®х0(у ®у0)} f₂ (х;у)=f₂ (х₀ ;у₀ ) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у)=lim_{х ®х0(у ®у0)} [f₁ (х;у)+f₂ (х;у)]=

=lim_{х ®х0(у ®у0)} f₁ (х;у)+lim_{х ®х0(у ®у0)} f₂ (х;у)=

=f₁ (х₀ ;у₀ )+f₂ (х₀ ;у₀ )=f(х₀ ;у₀ ). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х₀ ;у₀ , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z₀ =j(х₀ ;у₀ ), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х₀ ;у₀ ).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Точки разрыва.

Если в некоторой точке N(х₀ ;у₀ ) не выполняется условие lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у)= f(х₀ ;у₀ ), то точка N(х₀ ;у₀ ) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).

Условие lim_{Dх ®0( Dу ®0)} f(х₀ +Dх;у₀ +Dу)=f(х₀ ;у₀ ) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х₀ ;у₀ ), за исключением самой точки N(х₀ ;у₀ ); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х₀ ;у₀ ), но не сущ-ет предела lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х₀ ;у₀ ) и сущ-ет предел lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у), но lim_{х ®х0(у ®у0)} f(х;у)¹f(х₀ ;у₀ ).

Классификация точек разрыва:

Если (х₀ ;у₀ ) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х₀ ;у₀ ) – 1 род.

Если (х₀ ;у₀ ) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.

Если (х₀ ;у₀ ) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х₀ ;у₀ ) – 2 рода.

Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.

Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.

Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х₀ ;у₀ …) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х₀ ;у₀ …)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х₀ ;`у<sub>0</sub> …) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х₀ ;`у₀ …)£f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа m, удовл усл m<m<М, найдется в обл такая точка N^* (x^* ;y^* …), что будет выполн рав-во f(x^* ₀ ;y^* ₀ …)=m. Следствие из св2: Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.

Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x. ∆_x z=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ∆_y z=f(x,y+∆y)-f(x,y).

Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆_x z к приращ-ю ∆x при ∆x®0.

∂z/∂x=lim_{(∆x ®0)} ∆_x z/∆x=lim_{(∆x ®0)} (f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y.

∂z/∂y=lim_{(∆y ®0)} ∆_y z/∆y=lim_{(∆y ®0)} (f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y.

Част диф-л фун: d_x z(x;y)=[(¶z/¶x)*Dx] и d_у z(x;y)=[(¶z/¶у)*Dу].

Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).

Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y.

Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x₀ ,y₀ ), если её полное приращение ∆z можно представить в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(r), где r=Ö(∆x² +∆y² ), т.е. lim_{( Dх ®0, Dу ®0, r ®0)} 0(r)/r=0 бесконечная величина более высокого порядка малости, чем r. (A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x ,∆y.

Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x₀ ,y+∆y)»f(x,y)+[¶f(x,y)/¶x]*Dx+[¶f(x,y)/¶y]*Dy.

Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x₀ ,y₀ ), то сущ. конечные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x₀ , y=y₀ . A=∂z(х₀ ;у₀ )/∂x; B=∂z(х₀ ;у₀ )/∂y.

Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x₀ ,y₀ ) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма.

Производные высших порядков.

∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂² z/∂x² ;z^`` _xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;

∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z^{``</sup> <sub>xy</sub> ;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z<sup>``} _yx ; ∂φ/∂y=∂² z/∂y² ;z^`` _yy ;

Третья производная: ∂³ z/∂x³ ; ∂³ z/∂x² ∂y; ∂³ z/∂x∂y¶х; ∂³ z/∂y∂x² ; ∂³ z/∂y∂x∂y; ∂³ z/∂y² ∂x; ∂³ z/∂y³ .

Производная сложной ф-ии.

z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y).

z=f(x;u;v)=F(x)

Полная производная по х:

dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);

Полная производная по у:

dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);

Экстремумы фун 2 переменных.

Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M₀ (x₀ ,y₀ ), если f(x₀ ,y₀ )> f(x,y) {f(x₀ ,y₀ )<f(x,y)}для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x₀ ,y₀ )и отличных от неё.

Определение max и min при предположении, что х=х₀ +Dх и у=у₀ +Dу, тогда

f(x;y)-f(x₀ ;y₀ )=f(х₀ +Dх;у₀ +Dу)-f(x₀ ;y₀ )=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М₀ (х₀ ;у₀ ); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М₀ (х₀ ;у₀ );

Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x₀ , y=y₀ , то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.

Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y₀ . Тогда ф-ия f(x,y₀ ) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x₀ она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x₀ ,y=y₀ или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x₀ , y=y₀ или равно нулю или не сущ.

Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x₀ ,y₀ ), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x₀ ,y₀ ) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x₀ ,y₀ )/∂x=0, ∂f(x₀ ,y₀ )/∂y=0.

Тогда при x=x₀ , y=y₀ :

1)f(x,y) имеет максимум, если

∂² f(x₀ ,y₀ )/¶x² *∂² f(x₀ ,y₀ )/¶y² -(∂² f(x₀ ,y₀ )/∂x∂y)² >0 и ∂² f(x₀ ,y₀ )/¶x² <0

2)f(x,y) имеет максимум, если

∂² f(x₀ ,y₀ )/¶x² *∂² f(x₀ ,y₀ )/¶y² -(∂² f(x₀ ,y₀ )/∂x∂y)² >0 и ∂² f(x₀ ,y₀ )/¶x² >0

3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.

∂² f(x₀ ,y₀ )/¶x² *∂² f(x₀ ,y₀ )/¶y² -(∂² f(x₀ ,y₀ )/∂x∂y)² <0

4)Если ∂² f(x₀ ,y₀ )/¶x² *∂² f(x₀ ,y₀ )/¶y² -(∂² f(x₀ ,y₀ )/∂x∂y)² =0, то экстремум может быть, а может и не быть.

Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.

Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢_x =0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)];

Продифф. аналогично по у ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)]

Двойной интеграл.

Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS₁ ,DS₂ ,DS₃ …DS_n ). На каждой площадке возьмем по точке P_i (P₁ ,P₂ ,P₃ …P_n ). f(P_i ) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(P_i )DS_i . V_n =ⁿ å_i=1 f(P_i )DS_i – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.

Опр: Предел lim_{max di ®0} ⁿ å_i=1 f(P_i )DS_i интегральной суммы ⁿ å_i=1 f(P_i )DS_i , если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DD_i и от выбора точек P_i ÎD_i наз двойным интегралом зад фун z= f( x; y) по обл D.

Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел lim_{max di ®0} ⁿ å_i=1 f(P_i )DS_i

т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. lim_{max di ®0} ⁿ å_i=1 f(P_i )DS_i =óó_D f(x;y)dxdy=(или)= =óó_D f(x;y)dS/¶

Св-ва:

1)óó_D (f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óó_D f1(x,y)dxdy+óó_D f2(x,y)dxdy

2) óó_D a f(x,y)dxdy=aóó_D f(x,y)dxdy.

3) Если область D=D₁ ÈD₂ , то

óó_D f(x,y)=óó_{D 1} f(x,y))+óó_{D 2} f(x,y).

Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D₁ и D₂ .

óó_D f(P_i )DS_i =óó_{D 1} f(P_i )DS_i +óó_{D 2} f(P_i )DS_i , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D₁ , вторая – соот-е площадкам обл D₂ . В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D₁ и D₂ яв-ся границей площадок DS_i . Переходя в равенство

óó_D f(P_i )DS_i =óó_{D 1} f(P_i )DS_i +óó_{D 2} f(P_i )DS_i к пределу при DS_i ®0, получаем равенство

óó_D f(x,y)=óó_{D 1} f(x,y))+óó_{D 2} f(x,y).·

4) Если фун f(x,y)=1, то óó_D 1dxdy=S_D

5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть

óó_D f(x,y)dxdy³(£)0

6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то

óó_D f1(x,y)dxdy³óó_D f2(x,y)dxdy

7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл I_D от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.

^в ó_а ( ^{j 2(x)} ó_{j 1(x)} f(x,y)dy)dx=f(P)*S.

Док-во: Из соот-я

mS£^в ó_а (^{j 2(x)} ó_{j 1(x)} f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*I_D £MS. Число 1/S*I_D заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*I_D .

Двукратный интеграл

Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)). Пусть f(x,y) непрерывна в области D.

Рассмотрим I_D =^в ó_а ^{f 2( x )} ó_{f 1( x )} f(x,y)dydx=^в ó_а Ф(х)dx

-это двукратный интеграл .

Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

óó_D f(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½=

=óó_D f(pcosj;psinj)pdpdj=

=^j2 ó_j1 dj ^{p2( j )} ó_{p1( j )} (pcosj ;psinj)pdp.

Геометрическое приложение двойного интеграла.

Площадь плоской поверхности.

óó_D f(x,y)dxdy=S_D

2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма

DVi=ⁿ å_{i =1} f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.

lim_{max di ® 0} ⁿ å_{i =1} f(xi,yi)*DSi=V_Т если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=V_цил

Площадь поверхности.

S_пов. = óó[Ö1+(dz/dx)² +(dz/dy)² dxdy].

Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уⁿ )=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”…уⁿ )=0 наз порядковым ур-ем.

Решением ур F( x; y; y’;у”…у ⁿ )=0 наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…уⁿ )=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”… j(х)ⁿ )=0.

Фун вида у=j(х;С₁ ;С₂ ;…С_n ) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уⁿ )=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С₁ ;С₂ ;…С_n ; 2) для любых начальных усл х₀ , у₀ , у^’ ₀ , уⁿ ₀ можно найти конкретную совокупность С_{1 0} ;С_{2 0} ;С_{3 0} ;…С_{n 0} при которых фун у=j(х;С_{1 0} ;С_{2 0} ;С_{3 0} ;…С_{n 0} ), что эта фун будет удвл начальному условиям.

Соот-е вида j(х;С₁ ;С₂ ;С₃ ;…С_n )=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уⁿ )=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уⁿ )=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).

Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур . наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество.

Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением , если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям.

Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я.

Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур.

Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:

1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x)

{f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0

∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0, то линейное уравнение y’+p(x;y)=0.

Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;

2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-PdxlnC1+lnV=-∫Pdx

V= C1e^{– ∫ Pdx} и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

V(x)= e^{–∫ Pdx} , где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная

V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x)

Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)

y’+P(x)y=Q(x)yⁿ , P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n¹0,1. Это ур-е наз ур Бернулли , приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделим на yⁿ с наибольшим значением n, получим

(y^{– n} )y’+P(y^{– n+1} )=Q, Сделаем далее замену z=(y^{– n+1} ), тогда dz/dx=(-n+1)(y^{- n} )y’. Подставляя эти значения в ур-е

(y^{– n} )y’+P(y^{– n+1} )=Q, будем иметь линейное ур-е

dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q

Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y^{– n+1} ), получим общий инт. ур.Бернулли

Однородные ур-я

Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)

–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t⁰ )f(x;y).

Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности , если вып. усл. f(tx;ty)=(t^k )f(x;y); f(tx;ty)=(t⁰ )f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=j(U) (dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=[∫dU/(j(U)-U)] + CÞ вместо U подст. y/x и получим общий инт.

Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.

Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав . наз. любая фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;j(x);j’(x);j’’(x))=0

Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.

j(x0;С10;С20)=y0 ,

j’(x0; С10;С20)=y0’

Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)

Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)

– линейное однородное урав.

Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е.

y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2

2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e^{–∫ P( x) dx} )]/(y₁ ² )dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2

3) y1 находим подбором.

Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур.

2)Метод вариации произ. постоянной

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий. 0 y2

C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 Þ C1’(x)= f(x) y2’

C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2

y1’ y2’

Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx

y1 0

C2’(x)= y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx

y1 y2

y1’ y2’

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: y^’’ +py^’ +qy=f(x), p,q – числа. y=c₁ y₁ +c₂ y₂ +y^* , где y₁ , y₂ – два лин-но незав. реш.

(1) y^’’ + py^’ +qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=e^kx k² +pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k_1,2 =(-p±Ö(p² -4q))/2, k₁ ¹k₂ y₁ =e^k ₁ ^x , y₂ =e^k ₂ ^x .

Т.к. y₁ /y₂ ¹const, то y=c₁ e^k ₁ ^x +c₂ e^k ₂ ^x .

2. D=0 k_1,2 =-p/2

y₁ =e^-px/2 , y₂ =y₁ ∫(e^{-- ∫ pdx} )/y₁ ² dx=e^-px/2 , y=e^-px/2 (c₁ +c₂ x).

3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k_1,2 =a±bi, y₁ =e^{a x} Cosbx, y₂ =e^{a x} Sinbx, y₁ /y₂ ¹const, y=e^{a x} (c₁ Cosbx+c₂ Sinbx)

Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.

1. f(x)=P_n (x)e^{a x} 1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия

y^* =(A₀ xⁿ +A₁ x^n-1 ++...+A_n )=Q_n (x)e^{a x} .

a - однократный корень y^* =xQ_n (x)e^{a x} .

3) a - двукрат. корень y^* =x² Q_n (x)e^{a x} .

2. f(x)=p(x)e^{a x} Cosbx+q(x)e^{a x} Sinbx

1) a+bi – не корень y^* =U(x)e^{a x} Cosbx+V(x)e^{a x} Sinbx.

2) a+bi – корень y^* =x[U(x)e^{a x} Cosbx+V(x)e^{a x} Sinbx].

3. f(x)=MCosbx+NSinbx

1)bi – не корень, y^* =ACosbx+BSinbx.

2)bi – корень, y^* =x(ACosbx+BSinbx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U₁ , U₂ ...U_n ,... Выражение U₁ +U₂ +...+U_n +... наз-ся числовым рядом ,

U₁ , U₂ ...U_n – члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда : S_n = U₁ +U₂ +...+U_n .

Если сущ-ет конечный предел lim_{n ® ¥} S_n =S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел lim_{n ® ¥} S_n равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел lim_{n ® ¥} S_{n ,} то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во : S_n – сумма n первых членов ряда, C_k – сумма k отброшенных членов, D_{n - k} – сумма членов ряда, входящих в сумму S_n и не входящих в C_k . Тогда имеем: S_n =C_k +D_{n - k} , где C_k – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limD_{n - k} , то сущ-ет и limS_n ; если сущ-ет limS_n , то сущ-ет limD_{n - k} , а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a₁ +a₂ +...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca₁ +ca₂ +...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через S_n , а ряда (2) – через D_n . Тогда D_n =ca₁ +...+ca_n =c(a₁ +...+a_n )=cS_n . Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim D_n =lim(cS_n )=climS_n =cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a₁ +a₂ +...(5) и b₁ +b₂ +...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁ и S₂ , то ряды (a₁ +b₁ )+(a₂ +b₂ )+...(7) и (a₁ –b₁ )+(a₂ –b₂ )+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁ +S₂ и

S₁ –S₂ .

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через D_n , а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S_{1 n} и S_{2 n} , получим: D_n =(a₁ +b₁ )+...+(a_n +b_n )=(a₁ +...+a_n )+(b₁ +...+b_n )=S_{1 n} +S_{2 n} . Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limD_n =lim(S_{1 n} +S_{2 n} )= limS_{1 n} +limS_{2 n} =S_{1 n} +S_{2 n} .

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S_{1 n} +S_{2 n} .

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limU_n =0 n®¥.

Док-во: пусть ряд U₁ +U₂ +...+U_n +... сходится, т.е. limS_n =Sn®¥, тогда имеет место равенство limS_{n -1} =S.

limS_n –limS_n-1 =0, lim(S_n –S_n-1 )=0. Но S_n –S_{n -1} =U_n следов-но limU_n =0 ч.т.д.

Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.

1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U₁ +U₂ +...+U_n +...(1), S_{1 n} ; V₁ +V₂ +...+V_n +...(2) S_{2 n} ; Известно,что V_n ³U_n при n³N₀ .

если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $limS_{2 n} =S. S_{1 n} =U₁ +U₂ +...+U_{N 0} +U_{N 0+1} +...+U_n =S_{N 0} +V_{N 0+1} +...+V_n . limS_{1 n} =lim(S_{N 0} +D_{n - N0} )=S_{N 0} +D. S_{1 n} – возраст. послед-ть, ограниченная числом S_{N 0} +D => $limS_{1 n} =S_{n 1} .

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limU_n /V_n =L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если $lim(U_{n +1} /U_n )=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n³N, будет иметь место нер-во (U_{n +1} /U_n )<q (2^’ ). Действительно, т.к. величина U_{n +1} /U_n стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.

|U_{n +1} /U_n – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2^’ ) для различных значений n, начиная с номера N, получим U_{N +1} <qU_{N ,}

U_{N +2} <qU_{N +1} < q² U_N

Рассмотрим теперь два ряда:

U₁ +U₂ +...+U_N +U_n+1 +... (1)

U_N +qU_N +q² U_N +... (1^’ ). Ряд (1^’ ) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с U_{N +1} , меньше членов ряда (1^’ ), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(U_{n +1} /U_n )=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (U_{n +1} /U_n )>1, или U_{n +1} >U_n для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limⁿ ÖU_n =L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

|ⁿ ÖU_n –L|<q–L; осюда следует, что ⁿ ÖU_n <q или U_n <qⁿ для всех n³N. Рассмотрим теперь два ряда: U₁ +U₂ +...+U_N +U_{N +1} +... (1) и q^N +q^{N +1} +q^{N +2} +... (1^’ ). Ряд (1^’ ) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с U_N , меньше членов ряда (1^’ ). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: ⁿ ÖU_n >1 или U_n >1. но если все члены рассматр ряда, начиная с U_N , больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ^¥ å_n=1 U_n , где члены ряда убывают U_n >U_{n +1} >0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=U_n .

Если не собственный интеграл ^¥ ò₁ f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ^¥ ò₁ f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U₁ >U₂ >U₃ … и предел его общего члена при n®¥ равен 0

(Lim _{n ® ¥} U_n =0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U₁ ³S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

S_2m =(U₁ -U₂ )+(U₃ -U₄ )+…+(U_2m-1 -U_2m ). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S_{2 m} имеет предел Lim_{m ® ¥} S_{2 m} =S. Переходя к пределу в неравенстве S_{2 m} <U₁ при m®¥, получим, что U₁ ³S. Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S_{2 m+1} =S_{2 m} +A_{2 m+1} ; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Lim_{m ® ¥} S_{2 m+1} =

=Lim_{m ® ¥} S_{2 m} + Lim_{m ® ¥} А_{2 m+1} =S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim_{n ® ¥} Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + знакопеременный ряд (*), в котором любой его член U_n может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ^¥ å_n=1 ½U_n ½; |U₁ |+|U₂ |+…+|U_n |+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим S_n ⁺ и S_n ^- суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда S_{n 1} =S_n ⁺ -S_n ^- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов S_{n 2} = S_n ⁺ +S_n ^- . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел Lim_{n ® ¥} S_{n 2} =S. Последовательности S_n ⁺ и S_n ^- являются возрастающими и ограниченными (S_n ⁺ ≤ SS_n ^- ≤ S ), значит существуют пределы

Lim_{n ® ¥} S_n ⁺ и Lim_{n ® ¥} S_n ^- , и соответственно предел частичной суммы данного ряда

Lim_{n ® ¥} S_n1 =Lim_{n ® ¥} S_n ⁺ -Lim_{n ® ¥} S_n ^- , т.е. ряд (*) сходится.·

Если ряд |U₁ |+|U₂ |+…+|U_n |+…сходиться, то ряд U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + наз абс. сходящимся.

Если ряд U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + сходиться, а ряд |U₁ |+|U₂ |+…+|U_n |+…расходиться, то ряд U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + наз усл. сходящимся.

Св-ва абс сход рядов: Если ряд U₁ +U₂ +U₃ ….+U_n + абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.

Степенные ряды.

C₀ +C₁ X+C₂ X² +…+C_n Xⁿ ..-степенной ряд (*)

Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X₀ ≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X₀ |, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х₁ , то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х₁ |.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х₀ ≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Lim_{n ® ¥} U_n =Lim_{n ® ¥} C_n X₀ ⁿ =0. Значит последовательность |C_n X₀ ⁿ | Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |C_n X₀ ⁿ |<M. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)

|С₀ |+ |C₁ X₀ ||Х/X₀ |+…+ |C_n X₀ ⁿ ||X/X₀ |ⁿ +…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X₀ |+…+М|X/X₀ |ⁿ +… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X₀ |<1, т.е. при|X|<|X₀ |, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X₁ | ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х₁ (т.к. |X|>|X₁ |), что противоречит условию.·

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости , а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.

4) Степенные ряды вида а₀ +а₁ х+а₂ х² +…+а_n х² +…+а_n+1 хⁿ⁺¹ +… и

а₀ +а₁ (х-х₀ )+а2(х-х₀ )² +…+аn(х-х₀ )² +… сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U₁ +U₂ +..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U₁ (Х)+U₂ (Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через S_n (Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=S_n (x)+r_n (x), где r_n (x) есть сумма ряда U_{n +1} (x)+U_{n +2} (x) +…, т.е. r_n (x)= U_n+1 (x)+U_n+2 (x) +… В этом случае величина r_n (x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Lim_{n →∞} r_n (x)= Lim_{n →∞} [S(x)-S_n (x)]=0, т.е. остаток r_n (x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

Функциональный ряд U₁ (Х)+U₂ (Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а₁ +а₂ +а₃ +…+а_n ..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U₁ (x)│≤a_1, …,│U_n (x)│≤a_n ,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a)² /2!]+…

…+fⁿ (a)[(x-a)ⁿ /n!]+R_n (x), (1) где остаточный член R_n (х)={[(x-a)ⁿ⁺ 1]/[(n+1)!]}f^{( n+1)} [a+q(x-a)], где 0<q<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n®¥ остаток ряда стремился к 0, т.е. R_n (x)®o. Переходя в формуле (1) к пределу при n®¥, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:

f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+…+fⁿ (a)[(x-a)ⁿ /n!]+…

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x² /2!]+…

…+fⁿ (0)[xⁿ /n!]+….

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

e^x =1+x+x² /2!+…+xⁿ /n!+… (-¥;¥)

sinX=x-x³ /3!+x⁵ /5!+…+(-1)^n-1 [X2n^-1 ]/(2n-1)!+… (-¥;¥)

cosX=1-x² /2!+x⁴ /4!-…+[(-1)ⁿ X²ⁿ ]/(2n)!+… (-¥;¥)

(1+x)^m =1+mx+[m(m-1)x² ]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x³ ]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xⁿ ]/n!+… (-1;1)

ln(1+x)=x-x² /2+x³ /3-..+[(-1)ⁿ xⁿ⁺¹ ]/(n+1)+.. (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x² +…+xⁿ +..

1/(1+X² )=1-x² +x⁴ -x⁶ +…

arctgX=x-x³ /3+x⁵ /5-x⁷ /7+…+[(-1)ⁿ⁺¹ x^2n-1 ]/2n-1+…